La geometria non-euclidea/Capitolo II/Federico Lodovico Wachter (1792-1817)
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FEDERICO LODOVICO WACHTER [1792-1817].
§ 30. Visto come il postulato euclideo dipenda dalla possibilità di tracciare un cerchio per tre punti qualsiansi non collineari, si presenta spontanea l'idea di stabilire l'esistenza di un sifatto cerchio, antecedentemente ad ogni ricerca sulle parallele.
Un tentativo in questa direzione fu fatto da F. L. Wachter.
Wachter, scolaro di Gauss e Gottinga [1809] e professore di matematica al ginnasio di Danzica, si occupò a più riprese della dimostrazione del postulato e credè aver raggiunto lo scopo prima in una lettera a Gauss [dicembre 1816], poi in un opuscoletto, stampato a Danzica nel 18171.
È in questa pubblicazione ch'egli cerca di stabilire che per quattro punti arbitrari dello spazio [non appartenenti ad un piano] passa una sfera, giovandosi del seguente postulato: Quattro punti arbitrari dello spazio determinano pienamente una superficie [superficie dei quattro punti] e due sifatte superficie s'intersecano in una sola linea, completamente determinata da tre punti.
È inutile seguire il ragionamento con cui Wachter cerca di dimostrare che la superficie dei 4 punti è una sfera, perchè, mancando nel suo opuscolo una precisa definizione di quella superficie, le sue deduzioni hanno soltanto carattere intuitivo.
Merita invece speciale attenzione un passo della sua lettera del 1816, scritta dopo un colloquio con Gauss, in cui s'era parlato d'una geometria anti-euclidea.
In questa lettera Wachter, riferendosi alla superficie limite d'una sfera il cui raggio tende all'infinito, che nell'ipotesi euclidea s'identifica col piano, afferma che su di essa, anche nel caso della falsità del V postulato, varrebbe una geometria identica a quella del piano ordinario.
L'affermazione è della massima importanza perchè ci porge uno dei più notevoli risultati validi nel sistema geometrico corrispondente all'ipotesi saccheriana dell'angolo acuto [cfr. Lobacefski, § 40]2.
- ↑ «Demonstratio axiomatis geometrici in Euclideis undecimi.»
- ↑ Per quanto riguarda Wachter Cfr. P. Stäckel: Friederich Ludwig Wachter, ein Beitrag zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie; Math. Ann., t. LIV, p. 49-85 [1901]. In questo articolo sono riportate le lettere di Wachter sull'argomento e l'opuscolo del 1817 sopra citato.