La fisica dei corpuscoli/Capitolo 9/6

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

Capitolo 9 - Misura della costante dei cristalli

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6. — Misura della costante dei cristalli. — La teoria del Bragg per la riflessione dei raggi X sopra un cristallo ci permette di determinare la lunghezza d’onda dei raggi quando si conosca la distanza d dei piani riflettenti. Importa dunque di conoscere questa costante caratteristica almeno per un cristallo determinato, perchè allora di potrà misurare le lunghezze d’onda di raggi caratteristici di quegli elementi che si vuole, come viceversa, conosciute queste nel loro valore, si può conoscere la d per qualunque altro cristallo. [p. 215 modifica]

Ecco come si può determinare d.

Sia una sostanza chimica il cui peso molecolare sia M. Questo valore suole essere riferito all’atomo dell’idrogeno. Così per esempio se si tratta del salgemma il suo peso molecolare è $23+35,5=58,5$ prendendo come $1$ il peso di un atomo d’idrogeno. Se vogliamo il peso molecolare espresso in grammi dovremmo moltiplicare per il peso m di un grammo di idrogeno. Questo, come è noto, è $m=1,64\,\times \,10^{-24}$ gr. In generale dunque il prodotto Mm rappresenta il peso in grammi di una molecola della sostanza. D’altra parte se indichiamo con $\varrho$ la densità della sostanza questa rappresenta il peso dell’unità di volume. Quindi il rapporto tra una determinata massa della sostanza e la sua densità, espressi entrambi in grammi, darà il volume di quella massa. In particolare il peso della molecola, diviso per la densità, darà il volume della molecola, intendendo con ciò non lo spazio realmente occupato da una molecola ma la parte di volume ad essa riservato. Se chiamiamo con v questo volume dovremo dunque porre

209)	${\frac {{\text{M}}m}{\varrho }}\,=\,v$ .

D’altra parte se la sostanza la immaginiamo distribuita in cubi elementari, e chiamiamo con a lo spigolo di un cubetto, avremo

210)	${\frac {{\text{M}}m}{\varrho }}\,=\,v\,=\,a^{3}$ .

Per le sostanze che cristallizzano in cubi è ovvio assegnare la forma cubica anche ai volumi elementari. E allora se assegniamo ad ogni molecola un volume elementare, per es. immaginandola posta al centro di ciascun cubetto, la lunghezza dello spigolo a di questo, od anche la distanza fra [p. 216 modifica]due molecole consecutive, presa nella direzione degli assi ortogonali di simmetria, è appunto data, secondo l’ultima formola, da

211)	$a\,=\,{\sqrt[{3}]{\frac {{\text{M}}m}{\varrho }}}$ .

In queste ipotesi la grandezza a rappresenta la distanza tra i piani successivi di sfaldatura del cristallo perpendicolarmente ai tre assi ortogonali, ossia tra quelle faccie che in cristallografia sogliamo indicare col simbolo (100). Questa distanza potremo indicarla con $d_{100}$ . Nel caso presente sarà dunque

212)	$d_{100}\,=\,a$ .

Se invece di supporre ogni molecola nel centro del cubetto se ne suppongono otto distribuite agli otto vertici, la distribuzione sarebbe del tutto identica, soltanto sarebbero spostati di a/2 tutti gli spigoli, ma questi non hanno nessuna realtà fisica, non si altera neppure il numero di molecole distribuite in un determinato volume, perchè a ciascuna di quelle molecole partecipano otto cubetti, e quindi in realtà se ne ha sempre una per ciascun cubo.

Se la distribuzione è come si è supposta, ossia di una molecola per cubetto, possiamo determinare la distanza costante che deve aversi tra i piani che sono paralleli ad uno solo dei tre assi, e incontrano gli altri due ad egual distanza, ossia tra le faccie che sogliamo indicare col simbolo (110). Questa distanza sarà evidentemente eguale alle metà della diagonale di una faccia dei cubetti di prima, perchè per andare da uno spigolo a quello opposto diagonalmente si incontra a metà un altro piano su cui sono distribuite le molecole. Ora la diagonale è data da $a\,{\sqrt {2}}$ , quindi avremo [p. 217 modifica]

213)	$d_{110}\,{\frac {1}{2}}\,a\,{\sqrt {2}}\,=\,{\frac {a}{\sqrt {2}}}$ .

Finalmente per le faccie dell’ottaedro regolare che incontrano i tre assi ad egual distanza, e quindi hanno il simbolo (111), si vede facilmente che si avrà

214)	$d_{111}\,=\,{\frac {1}{3}}\,a\,{\sqrt {3}}\,=\,{\frac {a}{\sqrt {3}}}$ ,

perchè nell’andare da un vertice a quello opposto diagonalmente nel cubo si incontrano altri due piani che contengono molecole.

Sicchè, sempre nell’ipotesi fatta, possiamo stabilire così i rapporti fra le distanze dei piani paralleli alle tre faccie di sfaldatura dei cristalli (100), (110), (111):

215)	$d_{100}\,:d_{110}\,:d_{111}\,=\,1\,:{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,:{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ .

Torniamo allora allo studio dei cristalli, limitandoci per semplicità a quelli che cristallizzano in cubi. Le misure di riflessione dei raggi X ci danno i valori dell’angolo $\vartheta$ secondo la relazione

n\lambda \,=\,2d\,\operatorname {sen} {\vartheta }

.

Se ci limitiamo agli spettri di 1° ordine ossia a quelli per cui $n\,=\,1$ il valor di $\vartheta$ soddisferà la relazione

\lambda \,=\,2d\,\operatorname {sen} {\vartheta }

.

E per le tre faccie, si cui si è parlato, potremo stabilire tre eguaglianze

	$\lambda \,=\,2d_{100}\,\operatorname {sen} {\vartheta _{1}}$
	$\lambda \,=\,2d_{110}\,\operatorname {sen} {\vartheta _{2}}$
	$\lambda \,=\,2d_{111}\,\operatorname {sen} {\vartheta _{3}}$ ,

[p. 218 modifica]supponendo di adoperare sempre la stessa qualità di raggi, per cui

lambda

costante. Queste relazioni richiedono che sia

216)	$\operatorname {sen} {\vartheta _{1}}\,:\operatorname {sen} {\vartheta _{2}}\,:\operatorname {sen} {\vartheta _{3}}=\,{\frac {1}{d_{100}}}\,:{\frac {1}{d_{110}}}\,:{\frac {1}{d_{111}}}$

Sicchè nell’ipotesi fatta si dovrà avere per la 215) la relazione seguente

217)	$\operatorname {sen} {\vartheta _{1}}:\operatorname {sen} {\vartheta _{2}}:\operatorname {sen} {\vartheta _{3}}=\,1\,:\,{\sqrt {2}}\,:\,{\sqrt {3}}$

Le esperienze del Bragg hanno verificato questa ultima eguaglianza per il caso di un cristallo di silvina (KCl). Gli angoli $\vartheta _{1},\vartheta _{2},\vartheta _{3}$ sono per KCl rispettivamente 5°.22, 7°.30, 9°.05 i cui seni stanno precisamente nel rapporto assegnato. Dunque potremo affermare che la distribuzione per questo cloruro di potassio è quella assegnata, ossia un nucleo per ciascun vertice di un cubo elementare. Però non si può dire ancora se questo nucleo è una molecola. Per asserire questo bisognerebbe provare che il valore assoluto $d_{100}$ coincide con il valore di a dato alla formula 211).

Ma i risultati di altre esperienze possono chiarire il problema.

Se si studia la riflessione delle solite tre faccie di sfaldatura del salgemma si trova che i valori degli angoli di riflessione $\vartheta _{1},\vartheta _{2},\vartheta _{3}$ non corrispondono all’espressione 217) ma piuttosto si ha

218)	$\operatorname {sen} {\vartheta _{1}}\,:\,\operatorname {sen} {\vartheta _{2}}\,:\,\operatorname {sen} {\vartheta _{3}}\,=\,1\,:\,{\sqrt {2}}\,:{\frac {1}{2}}\,{\sqrt {3}}$

Questo risultato non si può conciliare con una distribuzione cubica di centri di riflessione uniformi, e non si spiga se non ammettendo che i centri di riflessione siano di due specie diverse; allora soltanto l’alternarsi di tali centri potrà condurre ad una distribuzione che dia ragione dei fatti. [p. 219 modifica]

E poichè le molecole di una stessa sostanza non possono non essere uguali fra loro, ne segue che non le molecole, ma gli atomi sono centri di riflessione.

Nell’ipotesi di due specie diverse di centri riflettenti la distribuzione cubica più semplice e più regolare è quella per cui su ciascuna linea del reticolato cubico siano distribuiti alternativamente i punti delle due specie e l’alternazione sia conservata in tutte tre le direzioni. Allora il cubo unitario completo conterrà i punti di una specie distribuiti sugli otto vertici e sui centri di ciascuna faccia: Fig. 11. Distribuzione degli atomi negli alogenuri. quelli dell’altra specie sopra i punti di mezzo di ciascuno spigolo e nel centro del cubo. La distribuzione è rappresentata nella figura annessa in cui i punti riflettenti delle due specie sono distinti con cerchietti neri e bianchi.

In una distribuzione di questo genere si verificano le seguenti condizioni:

1. i punti bianchi e neri sono distribuiti uniformemente e in egual numero;

2. se tutti i punti fossero eguali si avrebbe una distribuzione cubica semplice come è stata considerata sopra;

3. le distanze tra i piani di sfaldatura sono tali che si ha:

d_{100}\,:\,d_{110}\,:\,d_{111}\,=1\,:\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,:\,{\frac {1}{\sqrt {3}}}

;

4. la natura di questi piani è così. Le faccie (100) e (110) sono tutte eguali fra loro e su ciascuna sono distribuiti egual numero di punti bianchi e neri; e faccie (111) sono invece alternativamente tutte di punti bianchi o tutte di punti neri; quindi la distanza che [p. 220 modifica]passa fra due piani eguali e il doppio di quella che passa fra due piani consecutivi;

5. le riflessioni prodotte da piani identici di simbolo (111) la cui distanza è proporzionale a $2/{\sqrt {3}}$ viene turbata da quella dei piani intermedi e precisamente ne viene indebolita; la conseguenza è che spariscono o almeno diminuisce di molto l’intensità degli spettri di ordine dispari. Quando i punti bianchi e quelli neri avessero la stessa efficacia nella riflessione, allora gli spettri di ordine dispari scomparirebbero completamente e la riflessione si verificherebbe come se tutti i piani di quel simbolo fossero identici e la distanza fra essi fosse appunto la metà di quella precedente, ossia proporzionale a $1/{\sqrt {3}}$ .

Questo tipo di distribuzione si verifica nei sali alcalini binari e i punti neri possono rappresentare gli atomi dell’alogeno; i punti bianchi quelli del metallo alcalino. Studiando la silvina (KCl) e il salgemma (NaCl) si verificano le proprietà previste dalla distribuzione, ma per ciò che riguarda le faccie (111) per NaCl la riflessione di 1° ordine viene di molto affievolita, mentre per KCl quelle faccie riflettono come se fossero tutte eguali fra loro e la distanza $d_{111}$ risulta proporzionale a $1/{\sqrt {3}}$ , mentre per NaCl è proporzionale a $2/{\sqrt {3}}$ .

Questo comportamento si spiega riflettendo che per la silvina gli atomi di K e di Cl hanno presso a poco la stessa massa — perchè pesano rispettivamente 39 e 35.5 — e con ciò hanno eguale efficacia nella riflessione, mentre per il salgemma i piani costituiti da atomi di Na il cui peso atomico è 23 hanno meno efficacia di quelli formati da atomi di Cl, e quindi questa riflessione che si intromette a quella principale ne diminuisce l’intensità.

Questa analisi permette di determinare nella sua vera grandezza la distanza d tra i piani riflettenti. Dalla figura appare chiaro che per le faccie 100 la distanza $d$ è [p. 221 modifica]eguale allo spigolo a di un cubo elementare. D’altra parte ciascun cubetto contiene 4 atomi di alogeno e quattro di metallo, ma tutti questi vengono partecipati da otto cubetti adiacenti sicchè la massa elementare che compete a ciascun cubetto è di mezzo atomo di alogeno e mezzo di metallo, ossia mezza molecola di sale. Nella formola 210) dovremo dunque introdurre un fattore 2 a denominatore del primo membro. Sarà dunque

219)	${\frac {{\text{M}}m}{2\varrho }}\,=\,a^{3}$ .

Introduciamo allora in questa formola i valori corrispondenti per il salgemma ossia

{\text{M}}\,=\,58.5

\varrho \,=\,2.19

e per l’atomo dell’idrogeno $m\,=\,1.64\,\times \,10^{-24}$ gr. Si ricava così

a\,=\,2.81\,\times \,10^{-8}cm

.

e quindi

220)	$d_{100}\,=\,2.81\,\times \,10^{-8}cm$ .

e da questo si può subito dedurre i valori di $d_{110}$ e $d_{111}$ .

Conosciuto il valore assoluto di $d$ la formola

n\lambda \,=\,2d\,\operatorname {sen} {\vartheta }

ci permette di determinare anche quello di $\lambda$ perchè la $\vartheta$ è data dalla esperienza.

E allora ogni volta che si adoprerà raggi di lunghezza d’onda conosciuta si potrà con quest’ultima formola determinare le distanze $d$ per qualunque faccia del cristallo.