La fisica dei corpuscoli/Capitolo 4/8

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 4 - Leggi dei moti browniani

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

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8. — Leggi dei moti browniani. — Gli studi sperimentali del Perrin confermarono la ipotesi della natura cinetica dei moti browniani.

Einstein aveva svolto la teoria di tali moti considerandoli appunto come analoghi ai fenomeni della teoria cinetica dei gas. Secondo tale concetto i moti browniani devono presentare la caratteristica di moti che non seguono nessuna legge, e per ciò stesso cadono sotto le leggi del calcolo delle probabilità.

L’Einstein ha portato le sue ricerche teoriche in un campo che solo era verificabile. Non è possibile studiare il moto dei granuli di Brown in modo da poterne determinare una velocità media, perchè i movimenti sono sì ripidi che, per quanto si rendano piccoli gli intervalli di tempo nei quali si osserva la posizione dei granuli, non è possibile calcolare il cammino fatto dal granulo in quel tempo. Ciò che è possibile calcolare è lo spostamento totale che subisce un granulo in un intervallo di tempo determinato, chiamando così la distanza tra la posizione iniziale del granulo e la posizione finale, o più esattamente, che importa anche la direzione, il segmento rettilineo che congiunge i due punti estremi.

Fissando l’attenzione a questi spostamenti si deve verificare:

1. che le proiezioni $\xi$ di tali spostamenti di una durata $\tau$, sopra un asse asbitrario $Ox$, devono ripartirsi intorno al valore zero come prevedono le leggi della probabilità:

2. che il quadrato medio $\xi ^{2}$ di tali spostamenti varia proporzionalmente alla durata $\tau$ in modo che $\xi ^{2}/\tau$ resta contante per una stessa specie di granuli;

3. che la diffusione dei granuli avviene secondo la legge nota per le soluzioni, e il coefficiente di diffusione D soddisfa alla equazione nota

93)	${\text{D}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {\xi ^{2}}{\tau }}$ .

Da queste posizioni l’Einstein deduce le leggi cui devono verificare i granuli Brown.

In particolare non sarebbe difficile dimostrare con l’Einstein, che il quadrato dello spostamento medio è legato alle costanti note, e al raggio a dei granuli e al coefficiente $\eta$ di attrito interno di viscosità dell’emulsione, dalla uguaglianza

94)	${\frac {\xi ^{2}}{\tau }}\,=\,{\frac {\text{RT}}{\text{N}}}\,{\frac {1}{3\ \pi a\eta }}$ .

Questa relazione costituisce la legge del moto traslatorio dei granuli di Brown. Analogamente se ne può dare un’altra relativa al moto rotatorio. Chiamando $A^{2}$ il quadrato medio della componente intorno ad un asse dell’angolo di rotazione durante un tempo $tau$ si ha

95)	${\frac {{\text{A}}^{2}}{\tau }}\,=\,{\frac {\text{RT}}{\text{N}}}\,{\frac {1}{4\pi a^{3}\eta }}$ .

Il Perrin ha sottoposto a verifica sperimentale queste leggi misurando un numero molto grande di spostamenti $\xi$ di granuli seguendoli col microscopio, e i risultati sono stati pienamente conformi alle previsioni.

In particolare si può osservare che la 94) permette di determinare il valore di N dal moto di traslazione dei granuli, e questa determinazione costituisce una nuova verifica delle leggi e delle ipotesi sulle quali esse sono fondate. I valori che il Perrin ricava per N da sette serie diverse di misure, fatte su granuli di diversa specie, e in condizioni diverse, hanno dato per N valori che oscillano fra $55\,\times \,10^{22}$ e $80\,\times \,10^{22}$ con una media ancora vicino a $70\,\times \,10^{22}$.

Le esperienze di Perrin si sono anche estese al moto rotatorio dei granuli e alla determinazione del coefficiente di diffusione secondo la teoria di Einstein, dando sempre delle verifiche che sorprendono per la coincidenza dei valori delle grandezze così dedotti con quelli dedotti per vie tanto diverse.

Recentemente il van der Waals¹ ha dato una nuova teoria dei moti browniani che si allontanerebbe da quella d’Einstein.

Note

1. Van der Waals — K. Ak. Amsterd. Proc. — 20, p. 1254 (1918).