La fisica dei corpuscoli/Capitolo 3/19

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 3 - La distribuzione delle velocità molecolari

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

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19. — La distribuzione delle velocità molecolari. — L’ipotesi che tutte le molecole abbiano la stessa velocità è evidentemente un’ipotesi grossolana, ma i risultati che se ne ottengono si adattano abbastanza bene, come s’è visto, con le esperienze. Ciò significa che se si potrà assegnare una legge più vicina alla realtà i risultati a cui questa legge potrà condurre non altereranno sensibilmente quelli già visti. E una legge della distribuzione delle velocità fu data da Maxvell fino dal 1860¹, e non ostante le discussioni che si sono fatte, e si fanno anche oggi sulle varie dimostrazioni della legge, il suo valore reale è stato accettato universalmente.

Mi limiterò a dare un’espressione della legge di Maxvell e i valori che se ne deducono per la velocità rimandando a trattati speciali sulla teoria dei gas chi ne cerchi più ampia trattazione².

In un gas nello stato stazionario la velocità potrà variare entro limiti grandissimi da una molecola all’altra pur restando determinata la legge della distribuzione della velocità. Evidentemente tale legge non potrà esprimersi che introducendo i concetti del calcolo della probabilità. Supponiamo che una certa quantità di gas, prima di moto d’insieme, contenga N molecole. Se ci riferiamo per più semplicità ad un sistema di coordinate polari, la probabilità che la velocità di una molecola sia compresa entro un piccolo intervallo, cioè fa $c$ e $c\,+\,dc$, sarà certo una funzione di $c$, e la distribuzione sarà uniforme in tutto lo spazio. Questa funzione secondo il Maxvell è espressa dalla formola

79)	${\text{A}}\,e^{-h\,m\,c^{2}}\,c^{2}\,dc$

in cui A ed $h$ sono costanti, $e$ è la base dei logaritmi naturali, $m$ la massa di una molecola eguale per tutte. Si può facilmente dimostrare che

${\text{A}}\,=\,4\,\pi \,\left(\,{\frac {h\,m}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}$ .

Sicchè il numero totale di molecole che hanno una velocità, comunque diretta, con valore compreso tra $c$ e $c\,+\,dc$ sarà dato da

80	$4\,\pi \,{\text{N}}\,\left({\frac {h\,m}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\,e^{-\,h\,m\,c^{2}}\,c^{2}\,dc$ .

Da questa espressione può dedursi il valore della velocità media. Poichè sono possibili tutte le velocità tra 0 e $\infty$ il valore ${\bar {c}}$ della velocità media si otterrà moltiplicando l’ultima espressione per $c$, integrando tra 0 ed $\infty$ e dividendo per il numero totale delle molecole. Si avrà dunque

81)	${\bar {c}}\,=\,4\,\pi \,\left({\frac {h\,m}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\,\int _{0}^{\infty }\,e^{-\,h\,m\,c^{2}}\,c^{3}\,dc\,=\,{\frac {2}{\sqrt {h\,\pi \,m}}}$

Un altro valore della velocità che serve spesso di introdurre nelle formole è la media dei quadrati delle velocità. Se chiamiamo ${\text{C}}^{2}$ questa media si ricava

82)	${\text{C}}^{2}\,=\,{\frac {3}{2\,h\,m}}$

e quindi

83)	${\bar {c}}={\sqrt {\frac {8}{3\,\pi }}}\,{\text{C}}\,=\,0,92\,{\text{C}}$

Finalmente il valore più probabile della velocità, ossia quello a cui corrisponde l’ordinata massima nella funzione di $c$ è evidentemente dato da

84)	$c_{m}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {h\,m}}}$

Secondo la natura dei problemi si dovrà introdurre l’uno o l’altro di questi valori della velocità.

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Note

1. C. Maxwell. — Ph. M. 4. 19. p. 22, (1860).
2. Vedi per es. L. Boltzmann, trad. francese. Leçons sur la Théorie des Gaz. Paris, Gauthier-Villars (1902). — J. H. Jeans, The dynamical Theory of Gases. — C. Del Lungo, La teoria dei gas. Bologna, Zanichelli (1919).