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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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$n(n-2)$, la quale sega ${\rm {C_{m}}}$ in $mn(n-2)$ punti. Dunque vi sono $mn(n-2)$ punti in ${\rm {C_{m}}}$, ciascun de’ quali ha un polo congiunto in ${\rm {R}}$; ossia:

Se un polo descrive una curva d’ordine $m$, il luogo degli altri poli congiunti è una linea dell’ordine $mn(n-2)$.⁸⁵

106. Imaginiamo un polo che si muova percorrendo una data curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$; quale sarà il luogo delle intersezioni della prima colla seconda polare del polo mobile, rispetto alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$? Assunta una retta arbitraria ${\rm {R}}$, se per un punto $i$ di essa passa una prima polare, il polo giace nella retta polare di $i$; questa retta sega ${\rm {C_{m}}}$ in $m$ punti, le seconde polari dei quali incontreranno ${\rm {R}}$ in $m(n-2)$ punti $i'$. Se invece si assume ad arbitrio in ${\rm {R}}$ un punto $i'$ pel quale debba passare una seconda polare, il polo sarà nella conica polare di $i'$, che taglia ${\rm {C_{m}}}$ in $2m$ punti; le prime polari di questi determinano in ${\rm {R}}$ $2m(n-1)$ punti $i$. Così vediamo che ad ogni punto $i$ corrispondono $m(n-2)$ punti $i'$, mentre ad ogni punto $i'$ corrispondono $2m(n-1)$ punti $i$; talchè (83) vi saranno (in ${\rm {R}}$) $m(n-2)+2m(n-1)=m(3n-4)$ punti $i$, ciascun de’ quali coincida con uno de’ corrispondenti $i'$; cioè il luogo richiesto è una curva ${\rm {U}}$ dell’ordine $m(3n-4)$. Evidentemente questa curva tocca ${\rm {C_{n}}}$ negli $mn$ punti comuni a ${\rm {C_{m}}}$ e ${\rm {C_{n}}}$ perchè in ciascuno di questi punti le polari prima e seconda si toccano fra loro e toccano ${\rm {C_{n}}}$ (71).

Inoltre, siccome per un flesso della curva fondamentale passa la prima e la seconda polare di ogni punto della relativa tangente stazionaria (80), così la curva ${\rm {U}}$ passerà pel flesso di ${\rm {C_{n}}}$ tante volte quanti sono i punti comuni a ${\rm {C_{m}}}$ ed alla tangente stazionaria. Dunque la curva ${\rm {U}}$ passa $m$ volte per ciascuno dei $3n(n-2)$ flessi di ${\rm {C_{n}}}$¹.

(a) Se ${\rm {C_{m}}}$ coincide con ${\rm {C_{n}}}$, la linea ${\rm {U}}$ contiene manifestamente due volte la curva fondamentale; prescindendo da questa, rimarrà una curva dell’ordine $3n(n-2)$, per la quale i flessi di ${\rm {C_{n}}}$ sono punti $(n-2)$^pli. Dunque, se un polo percorre la curva fondamentale, gli $(n-1)(n-2)-2$ punti in cui si segano le polari prima e seconda generano una linea dell’ordine $3n(n-2)$, avente $n-2$ branche passanti per ciascun flesso di ${\rm {C_{n}}}$, una delle quali ha ivi con ${\rm {C_{n}}}$ un contatto tripunto. Il che riesce evidente, considerando che ogni tangente stazionaria della curva fondamentale ha con questa $n-2$ punti comuni, cioè il flesso ed $n-3$ intersezioni semplici.

(b) Analogamente si dimostra che, se il polo percorre la curva ${\rm {C_{m}}}$, le intersezioni delle polari $(r)$^ma ed $(s)$^ma descrivono una linea dell’ordine $mn(r+s)-2mrs$, la quale tocca la curva fondamentale ne’ punti comuni a questa ed a ${\rm {C_{m}}}$. È da notarsi che il numero $mn(r+s)-2mrs$ non cambia sostituendo $n-r$, $n-s$ ad $r$, $s$.

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1. Clebsch, Ueber eine Classe von Eliminationspröblemen und über einige Punkte der Theorie der Polaren (Giornale Crelle-Borchardt, t. 58, Berlino 1861, p. 279).