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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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La prima polare di una curva della classe $m'$ , cioè il luogo dei poli delle rette tangenti di questa, è una linea dell’ordine $m'(n-1)$ .

Questa linea passa pei punti ove la curva fondamentale è toccata dalle tangenti comuni ad essa ed alla curva della classe $m'$ .

Se $m'=1$ , ricadiamo nella definizione della prima polare di un punto (103, f).

(e) Posto $m=1$ , troviamo che la polare $(r)$ ^ma di una retta è una linea dell’ordine $2(r-1)(n-r)$ . Quindi la prima polare di una retta è dell’ordine zero; infatti essa è costituita dagli $(n-1)^{2}$ poli della retta data (77).

Per $r=n-1$ , si ricade in un risultato già ottenuto (103, e).

(f) L’ordine della linea polare $(r)$ ^ma di una retta ${\rm {R}}$ si può determinare direttamente come segue. A tal uopo consideriamo quella linea come luogo de’ punti comuni a due curve successive della serie d’indice $r$ e d’ordine $n-r$ , formata dalle polari $(r)$ ^me de’ punti di ${\rm {R}}$ (34).

Se $a$ è un punto qualunque di ${\rm {R}}$ , le polari $(r)$ ^me passanti per $a$ hanno i loro rispettivi poli nella polare $(n-r)$ ^ma di $a$ , la quale sega ${\rm {R}}$ in $r$ punti $a'$ . Se invece assumiamo ad arbitrio un punto $a'$ , la sua polare $(r)$ ^ma sega ${\rm {R}}$ in $n-r$ punti $a$ ; talchè, riferiti i punti $a,\,a'$ ad una stessa origine $o$ , fra i segmenti $oa,\,oa'$ avrà luogo un’equazione del grado $r$ in $oa'$ e del grado $n-r$ in $oa$ . Il punto $a$ apparterrebbe alla linea cercata, se due delle $r$ polari $(r)$ ^me passanti per esso fossero coincidenti. Ma la condizione perchè l’equazione anzidetta dia due valori eguali per $oa'$ è del grado $2(r-1)$ rispetto ai coefficienti della medesima, e per conseguenza del grado $2(r-1)(n-r)$ rispetto ad $oa$ . Sono adunque $2(r-1)(n-r)$ i punti comuni al luogo richiesto ed alla retta ${\rm {R}}$ ; ossia l’inviluppo delle polari $(r)$ ^me de’ punti di una retta data è una linea dell’ordine $2(r-1)(n-r)$ .

Le stesse considerazioni si possono applicare, in molti casi, alla ricerca dell’ordine della linea che inviluppa le curve d’una data serie. Per esempio, se la serie è d’indice $r$ e d’ordine $s$ , e se si può assegnare una punteggiata projettiva alla serie (cioè se fra le curve della serie e i punti di una retta si può stabilire tale corrispondenza che ad ogni punto della retta corrisponda una curva della serie, e viceversa), l’inviluppo sarà dell’ordine $2(r-1)s$ . Di qui per $s=1$ si ricava:

Se una curva della classe $r$ è tale che si possa assegnare una punteggiata projettiva alla serie delle sue tangenti, l’ordine della curva è solamente $2(r-1)$ .

(g) Se la polare $(n-r)$ ^ma di una retta passa per un dato punto $o$ , questo è (b) il polo di una polare $(r)$ ^ma tangente a quella retta. Dunque:

La polare $(r)$ ^ma di un punto $o$ , ossia il luogo de’ punti le cui $(n-r)$ ^me polari passano per $o$ , è anche l’inviluppo delle rette le polari $(n-r)$ ^me delle quali contengono il punto $o$ .

Così le polari de’ punti e delle linee sono definite in doppio modo, e come luoghi