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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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ad
, è una curva della classe
e dell’ordine
, con
cuspidi,
punti doppi ed
tangenti doppie; cioè:
Vi sono
prime polari, per le quali una data retta
è una tangente stazionaria;
prime polari, per le quali
è una tangente doppia; ed inoltre
rette, ciascuna delle quali ha due poli in
.
(f) Se l’
ma polare della retta
passa per un dato punto
, questo è il polo di una prima polare tangente ad
(e); talchè se l’
ma polare varia girando intorno al punto fisso
, la retta
invilupperà la prima polare di
. Così abbiamo due definizioni della prima polare di un punto:
La prima polare di un punto
è il luogo de’ poli le cui
me polari s’incrociano in
, ed è anche l’inviluppo delle rette le cui
me polari passano per
.
104. Supposto che un polo
percorra una data curva
d’ordine
, avente
punti doppi e
cuspidi, di qual indice è la serie
(34) generata dalla polare
ma di
rispetto alla linea fondamentale
, e quale ne sarà l’inviluppo?
(a) Se la polare
ma di
passa per un punto
, il polo sarà nella polare
ma di
(69, a), cioè sarà una delle
intersezioni di questa polare colla proposta curva
. Dunque per
passano
polari
me di punti situati in
, cioè le polari
me de’ punti di
formano una serie d’indice
.
(b) Se l’
ma polare di
tocca in un punto
, avremo in
due
me polari coincidenti, ossia
sarà un punto della linea inviluppata dalle curve della serie anzidetta. Dunque:
L’inviluppo delle polari
me de’ punti di una curva
è anche il luogo de’ poli delle polari
me tangenti a
.
(c) Quale è l’ordine di questo luogo? Ovvero, quanti punti vi sono in una retta arbitraria
, le polari
me de’ quali tocchino
? Le polari
me de’ punti di una retta
formano (a) una serie d’ordine
e d’indice
; epperò
(87, c) ve ne sono
che toccano
. Donde segue che:
L’inviluppo delle polari
me de’ punti di una curva d’ordine
, dotata di
punti doppi e
cuspidi, è una linea dell’ordine
.
Questa linea si denominerà polare
ma della data curva
rispetto alla curva fondamentale
1.
(d) Fatto
ed indicata con
la classe di
, cioè posto
(99), si ha:
- ↑ Steiner, l. c. p. 2-3. — V. anche la nota **) alla pag. precedente.