Elementi/Libro primo/Propositione 21
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Propositione 21
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21|21 Se dalli duoi ponti terminanti un lato d’un triangolo usciranno due linee rette, & che quelle si congiongano in un ponto che sia di dentro del triangolo, quelle medeme due linee certamente seranno piu breue delle altre due linee del triangolo, e conteniranno maggior angolo.
Sia come in questo triangolo ,a,b,c, che dalle due estremità del lato ,b,c, usciscano le due linee ,b,d, et ,c,d, lequale concorrano de dentro del triangolo a,b,c, nel ponto ,d, dico che le dette due linee ,b,d, & ,c,d, insieme gionti sono piu corte che le due linee ,b,a, & ,c,a, (lati del triangolo ,a,b,c,) insieme gionti. Et che l’angolo ,b,d,c, contenuto da quelle è maggiore dell’angolo b,a,c, contenuto dalli predetti duoi lati, & per dimostrar questo slongarò il lato ,b,d, per fin che seghi il lato ,a,c, in ponto .e. hor dico che li duoi lati ,a,b, et a,e, del triangolo .a,b,e, gionti insieme sono maggiori del lato .b.e. per la uigesima propositione, & giongendoui equalmente la parte, ouero la linea .e.c. li duoi lati.a.b. & .a.c. seranno maggiori insieme gionti delli duoi lati .b.e. & .e.c. (per la quinta concettione) laqualcosa serba in mente, poi perche li duoi lati .d.e. & .e.c. del triangolo .c.d.e. gionti insieme sono maggiori del lato .d.c. (per la medesima uigesima propositione) giontogli communemente la linea .d.b. li duoi lati .b.e. & ,e.c. seranno anchora maggiori delli duoi lati .b.d. & .d.c. (per la quinta concettione) donde se li duoi lati .b.e. & .e.c. sono maggiori delle due linee protratte .b.d. & d.c. & che li duoi lati a.b. & a.c. sono maggiori delli ditti duoi lati .b.e. & .e.c, (come di sopra fu approuato, quando dissi, serba in mente) tanto maggiormente seranno maggiori delle dette due linee protratte .b.d. & .d.c. che è il proposito. Ma, perche l’angolo .b.d.c. e maggiore dell’angolo ,d.e.c. (per la sestadecima propositione) & l’angolo .d.e.c. per la medesima decimasesta propositione, è maggior dell’angolo .e.a.b. adonque molto maggior serà l’angolo .b.d.c. del ditto angolo .b.a.c. che è il secondo proposito.