Elementi/Libro primo/Communi sententie
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Communi sententie
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Prima.
1|1 Quelle cose che à una medesima cosa sono equali, fra loro sono equali.
Esempli gratia: Se per caso la linea .a. fusse equale alla linea .c. & che similmente la linea .b. fusse pur equale alla medesima linea .c. si concluderia che per commune sententia la linea .a. seria similmente equale alla linea .b. perche ogni commune intelletto affermerà questo ne il nostro intelletto puo credere altramente, & per questo, si chiama commune sententia: il medesimo se intende nelle Superficie, Corpi, Angoli, & Numeri.
2|2 Et se à cose equal siano aggionte cose equali, tutte le sonne seranno equali.
Esempli gratia: se per caso fusseno le due linee .a.b. & c.d. equal fra loro, & che alla linea.a.b. aggiongessimo la linea .b.c. & similmente alla linea d.c. (come nel secondo esempio appare) et che la linea .b.e fusse equale alla linea d.f. si concluderia, che per commune concettione, ouer sententia, tutta la linea a.e. seria similmente equale a tutta la linea .c.f. perche in uero niun sano intelletto puo dubitar di questo; il medesimo seguita nelle Superficie, Corpi, Angoli, e Numeri.
3 Et se da cose equali seranno tolte cose equali, quelle cose, che resteranno, seranno equali.
4|3 Et se da cose non equali tu leuarai cose equali, li rimanenti seranno inequali.
Esempli gratia: se fusseno le due linee .a.b. & .c.d. & che la .a.b. fusse maggiore della .c.d. & che si leuasse dalla linea .a.b. la parte .e.b. & dalla .c.d. la parte .f.d. lequal parti fusseno equali fra loro, si concluderia per commune sententia, che li duoi residui, cioè .a.e. & .c.f. fusseno inequali, cioè, che ’l residuo .a.e. fusse maggiore del residuo .c.f. perche, il nostro intelletto non puo dubitare di questo; il medesimo seguiterà nelle Superficie, Corpi, Angoli, & Numeri.
5|4 Et se a cose ineguò tu aggiongerai cose equali, li resultanti seranno inequali.
Per esemplificare questa, torremo la figura della precedente, per essere il conuerso di quella: Esempli gratia: se fusseno le due linee .a.e. & .c.f. inequali, cioè, che la .a.e. fusse maggiore, & che a queste due linee tu gli aggiongesti le parti .e.b. & .f.d. lequal parte fusseno equali fra loro, si concluderia per commune scientia, li duoi resultanti, cioè, la .a.b. & tutta la .c.d. essere fra loro inequali, cioè, la .a.b. essere maggiore della .c.d. perche, il nostro intelletto non puo dubitare di questo, il medesimo si concluderà nelle Superficie, Angoli, Corpi, & Numeri, &c.
6|6 Se due cose seranno doppie a una medesima cosa, quelle medesime seranno fra loro equali.
Esempio: Se per caso la linea .a.b. fusse doppia alla linea .c. & che similmente la linea .d.e. fusse pur doppia alla medesima linea .c. si concluderia per commune opinione, ouer sententia le due linee .a.b. & .d.e. esser fra loro equali: perche, in uero niun sano intelletto dubiterà di questo; il medesimo si concluderia nelle Superficie, Corpi, Angoli, & Numeri.
7|7 Se seranno due cose dellequale una e l’altra sia la mettà di una medesima cosa una e l’altra di quelle serà uguale all’altra.
Esempio: Se per caso la linea .a. fusse la metà della linea .c.d. & che similmente la linea .b. fusse pur la mettà della medesima linea .c.d. si concluderia, per commune concettione, che la linea .a. fusse equale alla linea .b. perche nissuno sano intelletto negarà questo: il medesimo seguita nelle Superficie, Corpi, Angoli, & Numeri.
8|8 Se alcuna cosa sia sopra a un’altra. e serà applicata a quella, che l’una non ecceda l’altra, quelle seranno fra loro equali.
Esempli gratia: Se fusseno li duoi triangoli .a.b.c. et .d.e.f. & di tal conditione, che ponendo l’uno di quelli sopra all’altro, si conuenisseno talmente insieme, che uno non eccedesse l’altro in parte alcuna, cioè, che giustasse l’angolo .a. sopra lo angolo .d. & l’angolo .c. si giustasse, ouero conuenisse sopra l’angolo .f. & similmente la linea .a. c. sopra la linea d.f. e la linea .a.b. sopra la linea .d.e. e la linea .b.c. sopra la linea .e.f. si concluderia per commune sententia questi duoi triangoli fusseno fra loro equali: il medesimo si debbe intendere de ogni altra sorte de figura superficiale; & similmente di due linee, cioè, quando si giustasse una linea sopra un’altra, & che si conuenissero talmente insieme, che l’una non eccedesse l’altra dalli capi, ne dalle bande: si concluderia pur per commune sententia che fusseno equali, perche il nostro intelletto non potria creder altramente.
9|9 Ogni tutto è maggiore della sua parte.
Esempli gratia: se dalla linea .a.b. se ne tagliasse una parte, come seria a dire la .b.c. si concluderia per commune sententia, che la detta parte .b.c. fusse minore del tutto, cioè, di tutta la linea .a.b. il medesimo si concluderia in ogni altra parte maggiore, ouero minore, & in ogni altra specie di quantità, cioè, in Superficie, Corpi, & Numeri, & similmente nelli Angoli &c.
Ma egliè da notare che oltra queste commune concettioni dell’animo, ouero sententie, Euclide ne lasciò molte altre, lequal di numero sono incomprehensibili: dellequal questa ne è una.
Se due quantità equali seranno comparate a qual si uoglia terza del medesimo genere, insieme seranno ambedue di quella terza, ouer equalmente maggiore, ouer equalmente minore: ouer insieme equale.
Esempli gratia, se le due linee .a. & .b. fusseno equali fra loro, & che ambedue fusseno comparate a un’altra terza linea, come seria a dire alla .c. dice che per commune scientia si concluderia, che ambedue quelle (cioè .a. et.b.) fusseno ouero equalmente maggiori della detta linea .c. ouer equalmente minori, ouer che tutte tre fusseno equali.
Quanta è alcuna quantità a qual si uoglia altra del medesimo genere, tanta puo esser qual si uoglia terza ad alcuna quarta del medesimo genere nelle quantità continue, questo uniuersalmente è uero, ouero se li antecedenti seranno maggiori di consequenti, ouero minori, perche la magnitudine, cioè, la quantità continua discresce in infinito, ma nelli numeri non è così, ma se il primo sera submultiplice del secondo, serà qual si uoglia terzo equalmente submultiplice di alcuno quarto: perche il numero cresce in infinito, si come la magnitudine discresce in infinito.
Certamente il Campano, nell’aggionger questa soprascritta seconda concettione, si è dimostrato di poco giuditio, à uoler che un principiante suppona una cosa che non sa, ne è capace a saper che cosa la sia per fin a tanto che non intende che cosa sia a dire esser una quantità ad un’altra del medesimo genere; laqual cosa si diffinisce nella terza diffinition del quinto libro: e similmente, che cosa sia multiplice e submultiplice si diffinisce nella seconda diffinition del detto quinto. E però io eshorto ogni studente, che non perda tempo in uoler intender queste cose aggionte, imperoche la maggior parte sono cose fruste, e che confondon l’intelletto del studente, & interrompon l’ordine dell’Autthor, ilqual è di non parlar d’alcuna cosa auanti la diffinitione di quella (come uuol il debito) similmente di non metter cosa alcuna superflua, cioè, che non sia bisogneuole in alcuna altra cosa nell’opera sua, e similmente di non essere diminuto, & se pur in alcun luoco pareua che fusse stato diminuto, la causa era processa dalli Scrittori & Copisti: che haueano interlasciato, et trasportato molte sue diffinitioni et propositioni, come in questa nostra tradottione (cauata delle due tradottioni) procedendo si potra uedere, Anchora è suo costume di arguire in ogni sua demostratione con le cose passate, & non con quelle, che hanno da uenire (come uuol il debito) perche in uero delle cose che hanno da uenire si debbe presupponere che il studente non habbia notitia alcuna: laqual cosa non è stata considerata dal Campano.
Hor per far fine a questi primi principij della scientia Geometrica, liquali si cognoscon (come è detto) per l’intelleto, mediante il senso, e non per demostratione, & uenir a quelle cose, che si cognoscon per demostrationi. Bisogna notar qualmente in piu modi si dice l’huomo saper una cosa: perche alcuna uolta dicemo saper quelle cose, dellequal n’habbiamo certezza simplicemente per alcun di nostri cinque sensi: Esempli gratia: se io sento uno a cantare io dirò ch’io so che colui canta: & se io uedo uno che corra, io dirò che io so che colui corre, & s’io tocco una cosa dura, ouer molle calda, ouer fredda, io dirò ch’io so che quella cosa è dura, ouer molle, calda ouer fredda, e similmente s’io gusto una cosa dolce, ouer garba, io dirò, ch’io so che quella cosa è dolce, ouer garba, e similmente s’io odoro una cosa odorifera, ò puzzolente, io dirò ch’io so che quella cosa è odorifera, ouer puzzolente: alcuna uolta siamo certi d’alcuna cosa per longa esperientia, perilqual modo cognosciamo le cose medicinali, e questo anchor dicemo saper: Alcuna uolta dicemo saper quelle cose, dellequal ne habbiamo certezza per intelletto: talmente che l’intettetto nostro non puo credere il contrario: & questi sono li primi principij delle scientie: liquali, conosciuti li lor termini immediate sono conosciuti: Esempli gratia: se alcuno cognosce che cosa sia il tutto, et che cosa sia la parte, egli non puo dubitare che ogni tutto non sia maggiore della sua parte: il medesimo seguita in tutti li altri: nientedimeno il proprio sapere (come afferma Aristotele nel primo della Posteriora) non è altro, che a intendere per demostratione: demostratione: e pero propriamente di quelle cose che intendiamo per demostratione, siamo detti hauer la scientia: & di questa scientia si raccoglie da Euclide sopra ogni sua propositione, come procedendo manifestamente, si potra uedere.