Dalle dita al calcolatore/II/8
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8. Traguardi: alcuni esempi
L’esposizione fatta finora può far pensare che i Mesopotamici sappiano soltanto annotare dei numeri o eseguire calcoli elementari, magari con l’ausilio dell’abaco che conoscono già 1000 anni prima di Cristo.
Le nostre conoscenze su questi popoli superano di gran lunga quelle che abbiamo su ogni altro popolo antico, Romani compresi, grazie alle tavolette di argilla da loro usate per la scrittura e che sono meno deperibili di altri materiali “scrittori” usati nell’antichità: papiro, pergamena, foglie... Molte sono le tavolette, riguardanti la matematica, ma il fatto che in esse siano riportati problemi ed esercizi su casi specifici ha fatto credere che non si fosse raggiunto un sufficiente grado di astrazione e di generalizzazione. Pare più probabile che i problemi riportati sulle tavolette fossero destinati agli scolari, che non potevano certo risolverli se non in base a metodi certi e regole chiare. Molte tavolette sono veri e propri prontuari da tenere “sempre a portata di mano”: tavole di moltiplicazione, tavole di reciproci, di quadrati e cubi, nonché di radici quadrate e cubiche (cfr. Boyer, pag. 34).
Innanzitutto, va riconosciuta ai matematici della Mesopotamia una notevole abilità nello sviluppo di algoritmi: una tavoletta databile al 1800 a.C. contiene la descrizione di un procedimento per l’estrazione della radice quadrata. È il primo “algoritmo” storicamente documentato. Tale procedimento era stato invece attribuito al matematico greco Archita (V sec. a.C.), a Erone (I sec. d.C.) e anche a Newton.
Le tavole dei reciproci (igin) sono utili per effettuare la divisione. Gli IGIN sono numeri che, moltiplicati per il reciproco corrispondente, danno sempre come risultato l’unità, cioè 1.
| Reciproci sessagesimali | Reciproci decimali | |||||||
| Numero igin | ||||||||
| 2 | x | 30’ (30/60) | = 1 | 2 | x | 0,5 | = 1 | |
| 3 | x | 20’ | = 1 | 4 | x | 0,25 | = 1 | |
| 4 | x | 15’ | = 1 | 5 | x | 0,2 | = 1 | |
| 5 | x | 12’ | = 1 | 8 | x | 0,125 | = 1 | |
| 6 | x | 10’ | = 1 | 10 | x | 0,1 | = 1 | |
| 8 | x | 7’ 30’’ | = 1 | 16 | x | 0,0625 | = 1 | |
| 9 | x | 6’ 40’’ | = 1 | 20 | x | 0,05 | = 1 | |
| 10 | x | 6’ | = 1 | |||||
| 12 | x | 5’ | = 1 | |||||
| 15 | x | 4’ | = 1 | |||||
| 16 | x | 3’ 45’’ | = 1 | |||||
| 18 | x | 3’ 20’’ | = 1 | |||||
| 20 | x | 3’ | = 1 | |||||
eccetera
Per eseguire una divisione, basta moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore. Per esempio, col nostro sistema decimale, possiamo effettuare la divisione 32:5=6,4 procedendo in questo modo, cioè calcolando mentalmente 32x2:10=64:10=6,4. dividendo per 10, si è ottenuto lo spostamento della virgola di un posto verso sinistra. Tutta la precedente espressione in sostanza corrisponde alla moltiplicazione 32×0,2, dove lo 0,2 è il reciproco del divisore 5, e il risultato è sempre 6,4.
In notazione sessagesimale, la stessa divisione 32:5 si esegue moltiplicando il dividendo per il reciproco di 5, che è 12, ossia 32×12=384, e poi spostando la virgola verso sinistra di un posto sessagesimale. Dopo aver portato la virgola fra 6 e 24 si può leggere il risultato, che è 6 unità e 24 sessantesimi.
Nella tabella sessagesimale dei reciproci mancano i numeri 7, 11, 13, 14, 17, 19. Essi sono omessi in quanto i loro igin risultano “non regolari”, cioè non possono essere espressi esattamente con frazioni sessagesimali finite. Ma nella tabella decimale, i numeri mancanti sono ancora di più; abbiamo i reciproci solo delle potenze di 2 e dei multipli di 5. Al contrario, il sistema sessagesimale ha in tabella anche multipli di 3. In pratica, nell’ambito dei numeri fino a 20, i matematici babilonesi possono utilizzare ben 13 divisori che danno risultati esatti.
Si deve riconoscere che essi hanno sviluppato l’algebra in modo notevole, essendo in grado di risolvere equazioni di 2° e 3° grado.
Nel 1936 viene trovato a Susa, in Elam, un gruppo di tavolette che mostrano il raggiungimento di notevoli traguardi anche in geometria. In una tavoletta si prendono in considerazione poligoni di 3, 4, 5, 6 e 7 lati, e sono indicati i valori dei rapporti fra le aree e i quadrati dei lati. Inoltre, nella stessa tavoletta viene considerato il rapporto fra il perimetro dell’esagono e la circonferenza del cerchio circoscritto; dall’esame di questo dato è stato possibile calcolare che il valore di Pi greco è approssimato a 3;7;30, cioè (in decimale) 3+1/8=3,125, che non è molto lontano dal nostro
Tavoletta di natura geometrica (1800 a.C.): contiene il più antico algoritmo conosciuto (riproduz. approssimativa da fotocolor). 3.1415... In tempi più antichi, il valore di Pi greco era stimato uguale a 3, come è testimoniato presso gli Ebrei, originari della Mesopotamia.
Sembra che i Babilonesi abbiano una chiara idea della similitudine. La similitudine dei cerchi è ovvia. In una tavoletta si è trovato un triangolo rettangolo suddiviso in 4 triangoli rettangoli più piccoli, e sono indicati i valori delle rispettive aree e dei lati. Ciò fa supporre che sia stato utilizzato il teorema secondo il quale le aree delle figure simili stanno fra di loro come i quadrati dei lati corrispondenti.
Un frammento di tavoletta matematica risalente al 1800-1700 a.C., denominata Plimpton 322, ci mostra implicitamente che i Babilonesi conoscono il teorema attribuito a Pitagora.
In una tavoletta è tracciato un quadrato. Lungo un lato vi è indicato il numero 30; la lunghezza della diagonale è indicata con 42;25;35, e vicino si legge 1;24;51;10. Quest’ultima notazione rappresenta il rapporto fra la lunghezza della diagonale e quella del lato, che in decimale dà 1,4142129. Il valore esatto è 1.4142135... Del resto, per i nostri calcoli scolastici usiamo solo 1,414. Questo e tanti altri esercizi e problemi confermano ulteriormente la familiarità dei Babilonesi con il “teorema di Pitagora”. Infine, essi sanno che un angolo inscritto in un semicerchio è retto. Noi conosciamo tale proposizione come “teorema di Talete”, ma loro lo usano già mille anni prima.