Cinesi, scuola e matematica/L'insegnamento della matematica in Cina/Aspetti della didattica praticata

Aspetti della didattica praticata

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5.3 Aspetti della didattica praticata
5.3.1 Il calcolo

La matematica è ritenuta in Cina una parte immancabile delle competenze di una persona colta.

L’ignoranza in questo campo è vissuta con vergogna maggiore che in Italia, specialmente per quel che riguarda le capacità di calcolo rapido mentale.

In molte famiglie c’è addirittura l’abitudine di coinvolgere i bambini in giochi matematici come gare di somme orali: il padre lancia una sfida come “cinque più sette?” ed i bambini presenti rispondono facendo i calcoli a mente; vince chi risponde per primo dicendo il risulato corretto. Questi giochi riscuotono un grande successo e alcuni cinesi adulti raccontano quelle serate remote con commozione. Anche la scuola riflette questa passione per la matematica. Alle elementari le si dedicano almeno 12 ore settimanali e non meno di 6 nella media inferiore.

Le connessioni tra la matematica e le altre scienze e la sua importanza per lo sviluppo tecnologico sono non solo istanze assodate, ma addirittura obiettivi didattici: la scuola cerca di farne prendere coscienza agli studenti per motivarli e per permetterne sviluppi di studio autonomo.

Il nozionismo è ora combattuto e gli si preferiscono prassi che privilegino la deduzione e la costruzione di modelli matematici sulla base di situazioni e problemi reali.

Il calcolo ha in ogni caso un ruolo importante. Per capacita di calcolo nelle indicazioni ministeriali (Xie, 2004) si intende esser capaci di calcolare seguendo formule, regole ed algoritmi con la consapevolezza dei motivi per cui si scelgono determinate procedure nelle condizioni date dai problemi di riferimento. Si richiede sempre allo studente di trovare la soluzione più semplice perché la flessibilità e la consapevolezza nella scelta di strategie e procedure sono ritenute elementi fondamentali.

Le capacità di calcolo sono suddivise in tre livelli:

I) calcolare correttamente secondo procedure ed algoritmi dati;
II) calcolare con maggior sicurezza e velocità dopo molto esercizio;
III) calcolare bene e rapidamente scegliendo con flessibilità i modi più semplici.


5.3.2 Eredità nozionista

L’etica confuciana prescrive un forte rispetto per gli anziani, l’autorità e la tradizione. Inoltre esalta il valore della cultura e dello studio. Ciò fa sì che i cinesi facciano solitamente grande affidamento sulla scuola e che studenti e famiglie nutrano su essa grandi aspettative.

La Cina è stata a lungo un Paese statico, in cui i ruoli sociali, le condizioni individuali ed i mestieri facevano parte di un sistema che si riproduceva tra le generazioni. La mobilità sociale è un fatto acquisito da tempi recentissimi. La divisione del lavoro funzionava sulla trasmissione di padre in figlio in maniera assai rigida. L’educazione e la didattica erano ritenute efficaci quanto più consentivano al discente di riprodurre esattamente quanto mostrato, spiegato o semplicemente raccontato dal docente. Ciò riguardava tutti gli ambiti, da quello professionale a quelli più astratti e nettamente culturali.

La prassi didattica più apprezzata era di tipo trasmissivo ed in larga parte iconico. Il docente parla dell’oggetto disciplinare o lo mostra e gli studenti ascoltano, guardano, ripetono e memorizzano. Questi è la fonte del sapere ed ha indiscutibile autorità, quelli sono come i vasi da riempire con le conoscenze che non hanno. Il nozionismo è il corollario di una simile concezione ed ha fatto da padrone per lungo tempo nella didattica cinese.

Oggi questo modello è stato largamente messo in discussione e si preferisce parlare di sviluppo complessivo delle facoltà dello studente, di cui l’insegnante costituisce la guida, organizzando le esperienze didattiche necessarie. Il nozionismo e la memorizzazione sono tuttavia elementi che riaffiorano di tanto in tanto dallo sfondo anche oggi. [p. 102b modifica]

5.3.3 Centralità dell’insegnante

Nel dibattito recente sulla didattica della matematica si è parlato in Cina di insegnamento interattivo o di metodo della scoperta (Wang, 2001) intendendo che l’insegnante deve educare gli studenti a scopire autonomamente oggetti e proprietà matematici. C’è inoltre un forte sperimentalismo da parte degli insegnanti cinesi per quanto attiene ai metodi didattici. Le diverse impostazioni hanno però in comune la caratteristica di essere basate fondamentalmente sull’insegnante: è lui che fa delle cose, che stimola, che motiva,… Nonostante la profusione di inviti allo studio personale, all’attivazione della curiosità individuale ed al protagonismo dello studente in tutte le indicazioni ministeriali, trapelano elementi di una prassi reale che nella terminologia introdotta in (D’Amore, 1999) si potrebbero definire come didattica A.

Secondo Xie (2004) lo studente apprende seguendo le istruzioni dell’insegnante. Il passaggio dalla centralità dell’insegnante a quella dello studente è in atto in questi anni, ma non si è ancora compiuto. Per ora, ad esempio, la realtà della vita cui l’attività matematica dovrebbe fare riferimento secondo le indicazioni ministeriali è selezionata dall’insegnante ed è per molti aspetti una sua invenzione. Non sono mai gli studenti a proporre problemi e materiali.

La cosa diviene un po’ paradossale quando si parla di stimolare le capacità spontanee di pensiero e comunicazione o la creatività matematica. Questo sarebbe il passo successivo all’applicazione spontanea delle conoscenze matematiche ai problemi reali.

Il modello di processo mentale individuale di scoperta, sviluppo ed apprendimento della matematica che sembra soggiacere a questa didattica si può riassumere in tre stadii:

I) imitazione,
II) risoluzione autonoma di problemi,
III) trasferibilità.


La trasferibilità consiste nella capacità di fare connessioni con altre conoscenze, suddividere problemi complessi in problemi più semplici, e cogliere le strutture fondamentali che unificano i concetti e le conoscenze matematiche.

Gli studenti ricevono esperienza partecipando alle lezioni, accettano, condividono, concordano ed apprezzano i contenuti e le procedure, interiorizzano ciò che hanno appreso. Idee, metodi, capacità e quantaltro sono introdotti dall’esterno e poi praticati ed usati sino all’interiorizzarione ed alla comprensione. Molto si incentra sul risveglio dell’interesse e sulla motivazione.

D’altro canto è invece ormai consolidata la prassi di proporre presentazioni delle conoscenze matematiche che sfruttino diversi registri onde incontrare le caratteristiche cognitive dei diversi studenti ed i diversi livelli di competenza. Si usano molto per questo tecniche di visualizzazione degli oggetti matematici, modelli concreti o le tecnologie informatiche. Si arriva oggi a pensare all’individualizzazione del curriculum (insegnamento per un apprendimento differenziato nei livelli di profondità e competenza, detto didattica a gradi differenti nel dibattito cinese) e alla sua personalizzazione (differenziazione degli oggetti curricolari).

5.3.4 Pensiero matematico

Uno degli obiettivi della didattica della matematica cinese (Xie, 2004) è lo sviluppo del pensiero matematico, nel senso della capacità di ragionare matematicamente sui problemi. Ciò dovrebbe riguardare anche i problemi derivati o derivabili dalla vita concreta dello studente. Molte delle attività tendono a rendere lo studente capace di osservare, sperimentare, comparare, congetturare, analizzare, sintetizzare, astrarre e generalizzare, dedurre, indurre, ragionare per analogia. È inoltre importante che egli esprima i propri pensieri ed opinioni in modo logico ed appropriato e che sia capace di applicare concetti, principii, modelli di pensiero alle situazioni. [p. 103b modifica]Le competenze metacognitive divengono sempre più importanti anche come oggetti specifici di didattica col crescere degli ordini scolastici. Alla fine delle superiori lo studente deve saper differenziare i procedimenti matematici nella risoluzione dei problemi.

Il pensiero matematico è concepito come insieme di processi di analisi, sintesi, astrazione e generalizzazione. È una caratteristica che si può sviluppare e si fonda sulla capacità di selezionare durante l’osservazione gli elementi che possono dare luogo a generalizzazioni. Essi verranno poi usati in un contesto diverso: la trasferibilità è vista come prova di acquisizione delle competenze. Secondo le indicazioni ministeriali le competenze nel pensiero matematico sono suddivise in quattro livelli:

I) conoscere: gli studenti sanno riconoscere, identificare, differenziare e classificare quello che studiano;
II) capire: hanno conoscenze teoriche, si sanno esprimere nel linguaggio matematico, riconoscono le connessioni tra diverse parti della conoscenza matematica;
III) possedere (esser competenti): sanno analizzare, calcolare, prendere decisioni argomentandone e mgiustificandone la scelta, applicare le conoscenze apprese in situazioni nuove;
IV) flessibilità: sanno sintetizzare ed integrare le conoscenze appena apprese e le capacità appena acquisite con le conoscenze pregresse e riescono a selezionare razionalmente quali informazioni e conoscenze ricercare per risolvere problemi matematici.


Ad esempio in geometria gli studenti debbono inanzitutto apprendere che cosa sono un triangolo, un rettangolo od altre forme geometriche e riconoscerli. Poi debbono conoscere le caratteristiche di queste forme e le loro relazioni reciproche, come ad esempio che un rettangolo può essere diviso in due triangoli. Grazie ad esse gli studenti possono ottenere la formula per l’area del triangolo. In terzo luogo interviene l’acquisizione della formula ed il suo uso. Infine l’uso deve essere reso flessibile, tale da risolvere problemi con forme composte da triangoli, rettangoli, eccetera. Conoscenza, capacità e competenza coesistono e si influenzano reciprocamente. La capacità è considerata come ad un livello inferiore rispetto alla competenza, nel senso che è meno generale e più legata ad ambiti specifici. La competenza abbraccia più ambiti e raggiunge scopi più elevati.

5.3.5 Ragionamento matematico e logica

Dato che l’attenzione non è posta principalmente sulle definizioni, sulle dimostrazioni e sulle motivazioni astratte si potrebbe pensare ad una didattica incentrata sul fare. Non compaiono infatti accenni espliciti alla logica ed ai processi di derivazione ipotetico-deduttiva. C’è però tutto un settore di attività che ha a che fare con i metodi di inferenza ad esempio in quanto concerne la ricerca dei metodi più semplici e diretti di risoluzione dei problemi o nelle attività di disegno geometrico. Si tratta di ambiti in cui si fa notare la dipendenza di quanto si può realizzare e concludere correttamente dalle premesse. Uno degli obiettivi di queste attività è lo sviluppo della capacità di leggere razionalmente le informazioni ed i dati offerti dalla situazione, scegliere le migliori modalità per rappresentarli e maneggiarli, ed infine trattarli convenientemente per trarne le conclusioni corrette. L’idea di fondo è che da date premesse si possano trarre correttamente solo certe conclusioni, che cambieranno al cambiare di quelle.

Un altro obiettivo è quello della comprensione dell’importanza delle ipotesi implicite ed esplicite e delle restrizioni che comportano sulla validità delle affermazioni. Ad esempio la proposizione che asserisce che il prodotto di due numeri è maggiore di essi vale solo se i due numeri sono dello stesso segno ed hanno entrambi valori assoluti maggiori di 1. È per esempio falso per le coppie di fattori ½ e , per 0,2 e 5, -3 e 2. Al di fuori di un certo ambito, che si può determinare, l’affermazione perde di [p. 104b modifica]validità. Queste limitazioni intervengono a creare maggiore consapevolezza sulla trasferibilità delle conoscenze e delle procedure.

5.3.6 Creatività, applicazioni ed autonomiaModifica

Nelle indicazioni ministeriali (Xie, 2004) si parla di sviluppare la creatività matematica intendendo una caratteristica molteplice mista di curiosità riguardo ai fenomeni del mondo naturale e della società, desiderio di nuove conoscenze, pensiero autonomo, capacità di impostare ed affrontare i problemi con una prospettiva matematica ed abitudine all’uso di competenze e meodoligie matematiche per scoprire e risolvede problemi.

Essa è particolarmente rivolta alle applicazioni, intese come capacità di riconoscere le informazioni di carattere matematico offerte dalla realtà, organizzarle in schemi di pensiero efficaci ed impostare soluzioni ai problemi evidenziati. Questi processi, alla fine dell’esperienza didattica generale, debbono avere luogo nella più completa autonomia. In particolare si deve esser capaci, da un lato, di fare uso nei contesti più vari delle conoscenze matematiche acquisite a scuola, dall’altro, di esplorare autonomamente le caratteristiche matematiche delle situazioni.

Lo studente avrà quindi notevoli strumenti anche per selezionare nel modo più opportuno i propri obiettivi di vita e di studio, affrontare le diverse esperienze che la vita adulta gli presenterà con razionalità, esaminare le situazioni con pertinenza e costruire nuove conoscenze.

La matematica divene così da oggetto di didattica a strumento di educazione generale. Porta alla maturità ed all’autonomia.

Il fatto che la creatività, le capacità di applicazione e la disposizione all’analisi razionale autonoma vengano costruite prevalentemente sulla base dell’attività dell’insegnante sulla classe ha qualcosa di ossimorico, ma probabilmente si tratta più di direzioni per lo sviluppo futuro che della situazione presente. L’autonomia di pensiero è reclamata tra le intenzioni anche dei libri di testo e li orienta nella presentazione e nella scelta delle conoscenze.

5.3.7 Schema della dinamica di classe e sue conseguenzeModifica

La sequenza tipica della didattica suggerita dai documenti ministeriali in (Xie, 2004), che probabilmente riferisce usi reali, sembra essere simile alla seguente:

  1. presentazione didattica alla classe da parte dell’insegnante di un gruppo di conoscenze e

competenze connesse tra loro;

  1. esame approfondito di esse sotto la guida dell’insegnante;
  2. assimilazione degli aspetti procedurali attraverso l’esercizio;
  3. formazione del pensiero matematico relativo a quell’area cognitiva attraverso la risoluzione di

problemi e l’applicazione a situazioni diverse da quelle di presentazione.

L’attività risolutoria di problemi è più vicina agli obiettivi didattici che agli strumenti come invece accade in molte altre impostazioni. Una conseguenza è che qui non viene incentivato il meccanismo di risoluzione basato su tentativi ed errori (provo una strategia che conosco – se si dimostra sbagliata la modifico o ne provo un’altra che non genera l’errore evidenziato – se non va bene neanche questa ripeto il procedimento fino a trovare autonomamente la procedura giusta). Piuttosto si mette in risalto l’assimilazione delle procedure e dei metodi proposti dall’insegnante per una successiva evoluzione autonoma dei processi mentali. La stessa concezione di problema è influenzata dal questo modello: spesso i problemi proposti hanno un’unica soluzione. Se si possono risolvere con più strategie si premia e si riconosce come corretta solo la migliore (la più veloce, quella che richiede meno operazioni). Questo avviene anche nella didattica praticata in Italia ma con minore enfasi ed in fasi successive: le strategie che portano a soluzioni [p. 105b modifica]corrette in un primo momento solitamente si accettano e solo in seguito si dichiara che se ne preferisce una. In Cina ciò avviene da subito.

Un’ulteriore conseguenza è che tutto il processo didattico è strettamente sequenziale: le conoscenze e competenze di una fase sono costruite su quelle precedenti, senza possibilità di percorsi alternativi.