Trattato delle sezioni coniche e dei luoghi geometrici/Parte I° capitolo I°

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Gianfrancesco Malfatti - Trattato delle sezioni coniche e dei luoghi geometrici

Parte I° capitolo I°

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Trattato delle sezioni coniche e dei luoghi geometrici

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CAP. I

Esposta la natura delle Sezzioni Coniche, si dichiarano alcune proprietà degli assi, dei fochi, e delle direttrici, ed insieme si producono tre stromenti atti a descrivere le curve.

Pappo d’Alessandria, geometra insigne, nell’ultima proposizione del libro 7 dimostra una elegante e bella proprietà di quelle curve la cui natura riconobbero gli antichi geometri dalla Sezzione del Cono, onde è, che son chiamate Sezzioni Coniche. A me è paruto, che non si possa far cosa più elegante di quello che sia il servirsi come di fondamento di quella proprietà da Pappo dimostrata: poichè da questa si fa chiara e facile la generazione di queste curve, e le altre loro principali proprietà con uno spedito metodo si deducono. Laonde per non perder tempo io comprendo il teorema di Pappo con questa definizione.

Definizione I^a

Fig.^a 1^a. 2^a. 3^a.Sopra una data linea $D_{2}D$ si conduca primieramente una normale FA, la quale si divida a piacere in V: di poi con qualunque DE, che sia normale alla retta $D_{2}D$ concorra la linea FE in maniera, che sia $DE:EF=AV:VF$ . La Curva, che passerà per tutti i punti E similmente determinati chiamisi Sezzion Conica, la retta indefinita AD chiamisi la direttrice, il punto F il foco, il punto [p. 2 modifica] $V$ , poiché ancor questo appartiene alla curva, chiamisi il vertice della Sezzione.

Corollario 1^o. Da questa generazione chiaramente si vede, che la Sezzion Conica hà due rami $VE$ , $V_{2}E$ situati dall’una e dall’altra parte della perpendicolare $FA$ , l’uno de’ quali se all’altro si sovraponga, a quello perfettamente s’adatta. Imperochè dal punto $E$ si conduca $E_{2}0$ normale ad $AF$ prodotta, se fa d’uopo, la quale si produca fino che $2O_{2}E=E_{2}O$ : indi congiungasi $2EF$ ; finalmente si conduca $2E_{2}D$ parallela alla retta $FA$ . È facile a dimostrarsi, che $F_{2}E=FE$ , e $DE=2D_{2}E$ . Dunque $AV:VF=2D_{2}E:2EF$ : dunque il punto $2E$ è nella curva. Il che potendosi similmente di tutti i punti dimostrare, si rende evidente, avere la curva due rami simili ed eguali.

Corollario 2^o. La linea $E_{2}E$ , che taglia perpendicolarmente $AF$ , benché si produca in infinito, non ha altro punto commune colla curva trattine i due $E$ , $2E$ . La quale proprietà, poiché una contraria supposizione non può condurre in assurdo, io lascio, che la dimostri l’industria de’ leggitori.

Corollario 3^o. Le rette linee $E_{2}E$ parallele alla direttrice, che toccano l’uno e l’altro ramo della curva sono tagliate per metà dalla linea $AF$ , se v’è il bisogno, prodotta. Perilche $AF_{2}O$ chiamisi il primo asse della Sezzion Conica.

Definizioni, e Determinazioni.

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Fig.1^a.Se $AV$ è maggiore di $VF$ , la sezione chiamisi un'Elissi. Che se $AV$ è infinitamente maggiore di $VF$ , ovvero, se la direttrice $AD$ sia infinitamente distante dal vertice $V$ , ne vien'egli, che le rette $AV$ , $DE$ , le quali non hanno il divario, che d'una quantità, la quale ad esse hà una ragione minore di qualunque data, siano tra loro eguali. Dunque le linee $FV$ , $FE$ proporzionali alle prime saranno eguali. Perciò il circolo è una certa specie d'elissi, la cui direttrice infinitamente è lontana dal vertice; ed il cui foco è lo stesso che il centro del cerchio.

Fig.2^a.Se la abscissa $AV$ è eguale ad $VF$ la Sezzione si chiami una parabola.

Fig.3^a.Se è $AV$ minore di $VF$ , la Sezzione si denomini un'Iperbola. All'Iperbola appartiene il caso, quando $VF$ è infinitamente maggiore di $VA$ . Nella qual supposizione $FV$ , $FE$ , la differenza delle quali hà ad esse una minore ragione di qualunque data, bisogna che siano eguali: dunque le loro proporzionali $AV$ , $DE$ parimente sono eguali; la quale proprietà è della linea retta equidistante dalla direttrice.

Definizione della tangente

Fig.4^a.Quella linea dicesi toccare la curva, la quale talmente cade nella curva, che tutta è fuor della curva, cioè che tutta è dalla parte convessa della curva. Perchè si faccia più chiara la teoria delle tangenti, tornerà in acconcio concepire la cosa [p. 4 modifica]in tal maniera. Si figuri che la linea $K_{2}K$ , che taglia la curva ne’ due punti $E$ , $2E$ , si mova talmente, che la corda $E2E$ vada sempre più diminuendosi. Quando avviene che la corda $E2E$ sia nulla, la secante si cambierà in tangente: poichè giacerà tutta fuor della curva, e sarà posta nella sua parte convessa. Benchè qualunque moto a talento si possa dare alla secante $K_{2}K$ ; pure nelle Sezzioni Coniche supporremo, che ella proceda sempre parallela a se stessa. In ogni caso però valerà questo, che io giudico doversi premettere.

Lemma

Fig. 4^a.Se la retta $AF$ , che taglia la curva nel punto $V$ , divida per mezzo tutte le corde parallele alla corda $E2E$ , e per il punto $V$ si conduca $Q_{2}Q$ parallela a questa istessa corda, dico, che da questa vien toccata la curva nel punto $V$ .

Dimostro. Figurisi, che la retta $K_{2}K$ , la quale taglia la curva ne’ punti $E$ , $2E$ cammini parallela a se stessa, fino che sarà arrivata nel luogo $Q_{2}Q$ : nel qual luogo talmente concorre colla curva, che tutta è fuor della curva, e toltone $V$ non hà altro punto con essa commune. Perchè se fosse altrimente, la linea $AV$ non taglierebbe per mezzo la corda parallela ad $E2E$ : il che è contrario all’ipotesi. Dunque è necessario, che $Q_{2}Q$ tocchi la curva nel punto $V$ . C.D.D.

Proposizione I

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Quella linea, che per il vertice della Sezzione $V$ si conduce parallela alla direttrice, tocca nello stesso punto la curva.

Fig.^a 1^a. 2^a. 3^a. Dimostro. Poichè il primo asse $AF$ , che taglia la curva nel vertice $V$ , divide per metà tutte le corde parallele alla direttrice, quella linea, che si conduce parallela alla stessa direttrice per il punto $V$ , cioè $Q_{2}Q$ , per il lemma premesso tocca la Sezzion Conica nel punto $V$ . C.D.D.

Proposizione II

Fig.^a 1^a. 2^a.Data una Sezione Conica, ed il primo asse, che la taglia nel vertice $V$ , trovar l’altro punto $V$ , dove l’asse cade nuovamente nella Sezione.

Sia la direttrice della data Sezzione la retta $D_{2}D$ , il vertice $V$ , il foco $F$ . Chiamisi $AV=a$ , $VF=b$ , $Vv=z$ . Dunque $Av=a+z$ , ed $Fv=Z-b$ : sarà dunque per la prima proprietà della Sezzione Conica

$AV:VF=Av:vF$ cioè analiticamente

$a:b=a+z:z-b$ : Dunque dividendo

$a-b:b=a+b:z-b$ , ed alternando

$a-b:a+b=b:z-b$ , e componendo

$a-b:2a=b:z={\frac {2ab}{a-b}}$ .

Corollario 1.^o S’è trovata

$Vv={\frac {2ab}{a-b}}$ : Dunque dividendo $Vv$ egualmente in $C$ ,

$CV={\frac {ab}{a-b}}$ , e tolta $FV=b$ , sarà [p. 6 modifica] $CF={\frac {b^{2}}{a-b}}$ , ed aggiunta la $VA=a$ alla retta $CV$ , sarà $CA={\frac {a^{2}}{a-b}}$ . Onde essendo i termini ${\frac {b^{2}}{a-b}}$ , ${\frac {ab}{a-b}}$ , ${\frac {a^{2}}{a-b}}$ in proporzione continua, ancora le linee, cui essi si agguagliano $CF$ , $CV$ , $CA$ saranno in proporzione continua. In seguito il punto $C$ chiamerasi il centro della Sezzione, la linea $Vv$ , il primo asse, poichè questo vocabolo asse significa una qualche linea determinata.

Corollario 2^o. La retta $q2q$ , la quale è parallela alla direttrice, e passa per il punto $v$ , nello stesso punto tocca la sezzione.

Determinazioni

Fig. 1^a.Nella Elisse, poichè è $ab$ , sarà sempre positiva $a-b$ ; perciò i punti $C$ , $v$ saranno sempre posti dopo i punti $A$ , $V$ , $F$ . Nota, che nel circolo, il quale è un’Elissi, la cui direttrice è infinitamente distante da esso, la retta $FC$ è la terza proporzionale dopo l’infinita $CA$ , e la finita $CV$ . Dunque sarà nulla: perciò il foco $F$ , ed il centro $C$ nel circolo cadono nello stesso punto.

Fig. 2^a.Nella parabola $a=b$ , ed $a-b=0$ : dunque tutte le linee, che s'esprimono col divisore $a-b$ sono infinite: dunque i punti $C$ , $v$ sono in una infinita distanza dai punti $A$ , $V$ , $F$ , cioè il primo asse non taglia più la Sezzione. [p. 7 modifica]

Fig. 3^a.Nella Iperbola $a<b$ : dunque $a-b$ è quantità negativa: perilche i punti $C$ , $v$ saranno posti dòpo i punti $F$ , $V$ , $A$ , onde è manifesto, che l’iperbola ha un ramo ve posto dòpo il ramo $VE$ , e la direttrice $AD$ .

Proposizione III

Fig.1^a. 2^a. 3^a.Se una linea $DE$ parallela al primo asse taglia la Sezzione Conica in $E$ , trovar l’altro punto e, dove ella taglia nuovamente la Sezzione.

Dai punti $E$ , $e$ si conducano $EF$ , $eF$ al foco, dal quale si conduca $FP$ perpendicolare al primo asse, ed alle sue paralelle. Chiamisi $Ee=z$ , $DE=s$ : nelle altre si ritengano le denominazioni della antecedente proposizione. $PD=AF=a+b$ . Dunque, se $P$ cade fuori della Sezzione, sarà $PE=s-a-b$ . Ma se $P$ cade dentro la Sezzione, sarà $PE=a+b-s$ ; e $P$ sempre $=z+s-a-b$ . Imperochè, se $P$ cade fuori della Sezzione, devesi aggiungere $EP$ alla retta $Ee$ , e se cade al di dentro della sezzione, dalla retta $Ee$ devesi sottrarre la $EP$ , perchè si abbia la $eP$ . Ma per la proprietà della Sezzione Conica è $AV:VF=DE:EF={\frac {bs}{a}}$

$a:b=s:{\frac {bs}{a}}$ Di più stà

$AV:VF=De:eF={\frac {bs+bz}{a}}$

$a:b=s+z:{\frac {bs+bz}{a}}$

Ma perchè l’angolo in $P$ è retto

$EF^{2}-PE^{2}=eF^{2}-Pe^{2}$ : poichè ciascuna parte $=FP^{2}$ . [p. 8 modifica]

(b^2 s^2)/a^2 -s^2+2s∙(a+b)-(a+b)^2= (b^2 s^2+2b^2 sz+b^2 z^2)/a^2 -z^2-2zs-s^2+2z∙(a+b)+2s∙(a+b)-(a+b)^2

e cancellati i termini, che si devono cancellare

0= (2b^2 sz+b^2 z^2)/a^2 -z^2-2zs+2z∙(a+b)

e dividendo per z, e trasportando i termini opportunamente

(a^2-b^2)/a^2 ∙z=2∙(a+b)-2s∙(a^2-b^2)/a^2

Dunque moltiplicando per (a^2-b^2)/a^2 z=(2a^2)/(a-b)-2s

Il che dovea sapersi.

Corollario 1. Poiché s'è trovata

Ee=(2a^2)/(a-b)-2s se Ee si divida per mezzo in O, sarà EO=a^2/(a-b)-s. Dunque aggiunta la DE=s, sarà DO=a^2/(a-b) , da cui se si tolga DP= a+b, sarà PO=b^2/(a-b).

Corollario 2. Se Ee sia divisa per mezzo in O, sarà OP=CF, poiché l'una e l'altra s'esprime per b^2/(a-b) ed OD=CA: mentre ambidue agguagliano a^2/(a-b). Che se queste linee sono eguali tra di loro, Ee sarà divisa per metà in O: il che da chiunque lo voglia, può essere con facilità dimostrato.

Determinazioni

[p. 9 modifica]Intorno alla parabola non v'è che dire, perchè in essa a-b=0. Dunque i punti O, e sono infinitamente lontani dai punti D, E (fig. 2). Nella elissi a-b è quantità positiva. Dunque i punti O, e saranno dòpo i punti D, E (fig. 1). Nella iperbola a-b è quantità negativa: dunque i punti O, e stanno dòpo i punti E, D, e DE taglierà di nuovo la curva in quel ramo, che è posto dall'altra parte della direttrice (fig. 3).

Proposizione IV

Quella linea, che dal centro si tira paralella alla direttrice, taglia per mezzo tutte le corde paralelle al primo asse (fig.1, 2, 3). Dimostro. Dal centro C, e dal foco F, si tirino CO, FP paralelle alla direttrice. Dunque CO divide tutte le corde Ee paralelle al primo asse in maniera, che OD=CA, ed 0P=CF. Dunque per il corollario 2 della superiore proposizione Ee è divisa egualmente in O.

C.D.D.

Corollario 1. Poiché CO è paralella alla direttrice, dividerà Ee non solo in parti eguali, ma ancora ad angoli retti. lerciò si chiamerà l'asse secondo. Perciò l'asse primo divide per mezzo, ed a norma tutte le corde paralelle all'asse secondo, e l'asse secondo taglia per metà e ad angoli retti tutte le corde paralelle al primo. [p. 10 modifica]Corollario 2. Condotti i due assi, si determineranno quattro rami simili ed eguali. Imperciochè VE, che si dimostrò simile ed eguale ad V2E, è chiaro, che è simile ed eguale ad ve, che sappiamo essere eguale e simile ad v2e. Laonde i quattro rami VE, V2E, ve, v2e simili sono ed eguali; dalle quali cose ne viene chiaramente, che qualunque corda che passa per il centro, resta dal centro divisa per metà.

Determinazioni

Non parliamo della parabola, nella quale il secondo asse è a un'infinita distanza dal vertice (fig. 2). Nell'elissi il secondo asse è posto dòpo il vertice e il foco (fig. 1). Nella iperbola giace dòpo il foco e il vertice (fig. 3).

Proposizione V

Trovare i punti, dove il secondo asse taglia la Sezzione Conica (fig. 1). Suppongasi, che lo tagli nei punti T, t. Da T conducasi TZ normale alla direttrice, e si congiunga TF [quello che dicesi del punto T, intendasi ancora del punto t]. E' chiaro, che TZ=AC. Perciò ritenute le denominazioni della seconda proposizione, per la proprietà della Sezzione Conica sarà

AV:VF=ZT:TF

Oppure analiticamente

a:b=a^2/(a-b):ab/(a-b)

Ma anche VC=ab/(a-b) . Dunque TF=VC. Perciò, se col centro F, nell’intervallo VC si descriva un circolo, i punti del concorso del circolo, e del secondo asse, saranno quegli istessi, [p. 11 modifica]nei quali il secondo asse taglia la Sezzione Conica. Corollario 1. Poiché TC=√(a^2/(a-b)) , perchè è eguale a √(〖TF〗^2-〖CF〗^2 ) , riducendo la frazzione à minimi termini, sarà TC=b√((a+b)/(a-b)) , la quale quantità sarà mezza proporzionale tra a+b , e b^2/(a-b); cioè tra AF , ed FC. La retta TC in avvenire chiameràsi il secondo semiasse. Corollario 2. pertanto se per i punti T, t si conducano qTQ, 2qt2Q paralelle al primo asse, queste toccheranno la Sezzione Conica nei punti T, t per il lemma avanti la prima proposizione.

Determinazioni

Nella parabola tutto è a un'infinita distanza (fig. 2). Nell'elissi v'à luogo tutto ciò, che è stato esposto nella proposizione e nei suoi corollari (fig. 1). Nell'iperbola non cosi (fig. 3). Poiché fatto cento in F nell'intervallo VC il circolo non può mai tagliare l'asse secondo CO. Il che viene indicato ancora dal valore della retta TC, che nell'iperbola è immaginario. Mà. per una certa analogìa coll'elisse, l'abscissa TC, purchè sia mezza proporzionale trà AF, e CF, chiamasi ancora nell'iperbola il semiasse transverso: poiché questa voce asse s'usurpa per una linea determinata.

Definizione

Se un punto nella Sezzione riferito a qualche linea hà la stessa proprietà, che hà il foco riferito [p. 12 modifica]alla direttrice, quello si chiami il foco, quella la direttrice.

Proposizione VI

Se si prende vf=VF, va=VA, e si tira ad paralella alla retta AD, dico, che f è il foco, ad la direttrice (fig. 1, 3). Dimostro. Si conduca qualunque Dd paralella al primo asse, che tagli la curva nei punti E, e, dai quali si conducano EF, ef, e dal centro C l'altro asse CO. Poiché tanto Dd, quanto Ee è divisa per metà dal secondo asse in O, sarà DE=de: dunque ed F20=f2o. Mà E20=e2o: dunque EF=ef. Mà AV:VF =DE:EF: dunque ancora av:vf=de:ef; imperciochè ogni termine di questa analogìa è eguale ad ogni termine dell'analogìa superiore: dunque f è il foco, ad è la direttrice.

Determinazioni L'elisse stà in mezzo alle due direttrici, ed i suoi vertici sono più distanti dal centro dei suoi fochi (fig. 1). Nell'iperbola le direttrici sono poste tra i due rami della Sezzione, e dal centro sono più lontani i fuochi, che i vertici (fig. 3). Nella parabola questa proposizione non v'hà luogo: perchè l'altra direttrice, e l'altro foco, sono à una infinita distanza dal primo foco, e dalla prima direttrice (fig. 2).

Proposizione VII

Se da qualunque punto E della Sezzione si conducano ai due fuochi le rette EF, Ef, dico, che nell'elis- (fig. 1, 3) [p. 13 modifica]se la somma delle linee EF, Ef, nella iperbola,la loro differenza è eguale alla retta Vv, cioè al primo asse. Dimostro. Quanto alla prima parte, per la proprietà della Sezzione è AV:VF=DE:EF. Parimente av:vf=dE:Ef, dunque, perchè AV=av, VF=vf, sarà DE:EF=dE:Ef: ed alternando DE dE : : EF : Ef:

e componendo

DE:dD=EF:EF+Ef,

ed alternando DE: EF cioè ' AV:VF=Aa:EF+Ef,

la quale espressa analiticamente dà

a:b=〖2a〗^2/(a-b):EF+Ef=2ab/(a-b)

Mà ancora Vv=2ab/(a-b) : dunque EF+Ef=Vv. Dimostro quanto all'altra parte. Nella iperbola si ricava collo stesso metodo la verità della proposizione. Scholio. Sebbene nella parabola per l'infinita distanza dell'altro foco questa proposizione non abbia alcun valore (fig. 2); pure condotta qualunque XY paralella alla direttrice, la quale primieramente sia posta in guisa, che il vertice della Sezzione giaccia trà questa e la direttrice la somma dei lati XE, EF, sarà costante, cioè =XD=YA=YV+VF. Che se la xy è condotta in maniera, che il vertice della Sezzione sia posto tra questa e il foco, [p. 14 modifica]la differenza delle linee xE, EF sarà costante, cioè =yA=yV-VF.

Proposizione VIII

Si espone il modo, con cui puossi descrivere l'elisse. Presa una cordicella, si fermino le sue estreme parti nei punti F, f, i quali saranno i fuochi dell'elisse (fig. 5): indi movasi in giro lo stile E, che tiene disteso il funicolo egualmente in ogni luogo, fino che egli ritorna a quel punto, donde prima partìssi. Lo stile descriverà una curva, la quale, perchè le rette EF, Ef insieme prese sono sempre eguali a una costante, è troppo chiaro, essere un elisse.

Proposizione IX

Formare uno stromento atto a descrivere la parabola. Fermata la regola AD sopra un piano, e la norma KHG in guisa però, che il lato della norma HK possa scorrere liberamente sopra la regola AD, prendasi una cordicella FEG, di cui un'estremo leghisi in G, l'altro in F: la lunghezza della corda sia eguale alla retta GH (fig. 6). Di poi facciasi, che sopra la regola si mova la norma, e con lo stile E, che sopra il lato GH tien disteso il funicolo, descrivasi la curva VEZ, la quale da ciò è chiaro, essere una parabola, perchè GE, EF, sempre aguagliano la costante GH. In tal modo descriveràsi la metà della parabola, ma se si volti la norma, e dall'altra parte si ponga del punto F, averàsi l'altra parte della curva. [p. 15 modifica]Corollario. L'infima linea della regola DA sarà la direttrice della parabola, il punto F il foco.

Proposizione X Con quale stromento si possa descrivere l'iperbola per un continuo moto, questa proposizione dimostra. Adattisi in tal modo la regola fG nel punto f, che intorno a quello possa muoversi liberamente (fig. 7): indi lega una cordicella alla estremità G, l'un termine della quale fermisi nel punto F. Dipòi facciasi, che la regola Gf in giro si mova intorno al punto f, e con lo stile, che egualmente tiene disteso il funicolo GEF, descrivasi la curva VE, la quale sarà un'iperbola avente i fuochi nei punti F, f: poiché è sempre costante la differenza delle rette fE, FE. Che se si adatta un'altra regola Fg eguale alla prima in guisa, che intorno ai punto F possa voltarsi, e le estremità d'una corda feg si leghino nei punti f, g, la quale corda eguagli la prima, e dipoi, come sopra, si proceda nell'operazione, descriveràssi il ramo dell'iperbola vel. Finalmente voltato lo stromento, di leggieri si descriveranno gli altri rami. Corollario 1. Se il fune GEF è minore della regola Gf, descriveràssi il ramo VE, che rivolge la sua parte concava verso il punto F: ma se il fune GEF è maggiore della regola Gf, descriveràssi un ramo che volta il suo convesso al punto F, il concavo al punto f. [p. 16 modifica]Corollario 2. Se il funicolo sarà eguale alla regola descriveràsi una linea retta, ed i rami opposti della iperbola coincideranno nella stessa linea. Scolio. Abbiamo detto altrove, che l'iperbola diventa una linea retta, quando VF è infinitamente maggio- re di AV (fig. 3). Mà devesi riflettere seriamente a due ipotesi, nè và confusa l'una coll'altra. Poiché primieranente FV può essere finita, VA infinitamente piccola, o nulla, nella quale ipotesi, anche CA si fà nulla; dunque i punti V, A, C, a, v cadono in un sol punto, e gli opposti rami coincidono nella stessa retta linea, la quale è la medesima, che noi abbiamo descritto nell'antecedente corollario. Dipòi VA può essere finita, VF infinita, nella quale supposizione solamente CA, Ca diventano =0. Dunque le direttrici, e l'altro asse coincidano nella stessa linea. Ma i rami dell'iperbola, che si tramutano in linee rette non si confondono, ma distano dalla direttrice per le linee VA, va; la qual cosa nella soluzione di alcuni problemi deve essere diligentemente considerata, come noi spiegheremo a suo luogo.