Teoria degli errori e fondamenti di statistica/9.2

by Maurizio Loreti

9.2 Proprietà della legge normale

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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9.2 Proprietà della legge normale

Possiamo ora, come già anticipato nei paragrafi 4.2.6 e 6.2, determinare il valore medio di una qualsiasi grandezza $W(z)$ legata alle misure, nel limite

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Figura 9a - La funzione di Gauss per tre diversi valori di h.

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di un numero infinito di misure effettuate; questo valore medio sappiamo dall’equazione (6.2) che si dovrà ricavare calcolando l’integrale

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!W(z)\cdot f(z)\,\mathrm {d} z$

dove per $f(z)$ si intende la funzione densità di probabilità dello scarto dal valore vero, che supporremo qui essere la distribuzione normale (9.1).

Se vogliamo ad esempio calcolare il valore medio dello scarto z, questo è dato dalla

$E(z)\;=\;{\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!z\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z=0$.

Il risultato è immediato considerando che $f(z)$ è una funzione simmetrica mentre z è antisimmetrica: in definitiva, ad ogni intervallino centrato su un dato valore $z>0$ possiamo associarne uno uguale centrato sul punto $-z$, in cui il prodotto $z\,f(z)\,\mathrm {d} z$ assume valori uguali in modulo ma di segno opposto; così che la loro somma sia zero. Essendo poi

$E(z)\;=\;E\left(x-x^{*}\right)\;=\;E(x)-x^{*}$

abbiamo così dimostrato quanto assunto nel paragrafo (5.2), ossia che

Il valore medio della popolazione delle misure di una grandezza fisica affette solo da errori casuali esiste, e coincide con il valore vero della grandezza misurata.

Cerchiamo ora il valore medio del modulo dello scarto $E{\bigl (}|z|{\bigr )}$:

$E{\bigl (}|z|{\bigr )}$	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\!|z|\,f(z)\,\mathrm {d} z$
	$=2\int _{0}^{+\infty }\!z\,f(z)\,\mathrm {d} z$
	$={\frac {2h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }\!z\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z$
	$={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }\!e^{-h^{2}t}\,\mathrm {d} t$
	$=-{\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}\left[e^{-h^{2}t}\right]_{0}^{+\infty }$
	$={\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}$

dove si è eseguito il cambio di variabile $t=z^{2}$.

Il valore medio del modulo degli scarti è quella grandezza che abbiamo definito come “errore medio”: qui abbiamo ricavato la relazione tra l’errore medio di misure affette solo da errori casuali ed il modulo di precisione della misura h.

Il rapporto invece tra l’errore quadratico medio ed h si trova calcolando il valore medio del quadrato degli scarti:

$E{\bigl (}z^{2}{\bigr )}$	$={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!z^{2}\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z$
	$={\frac {1}{h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!t^{2}\,e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} et$
	$=-\,{\frac {1}{2h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!t\cdot \mathrm {d} {\bigl (}e^{-t^{2}}{\bigr )}$
	$=-\,{\frac {1}{2h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\,\left\{\left[te^{-t^{2}}\right]_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}\mathrm {d} t\right\}$
	$={\frac {1}{2h^{2}}}$.

Per giungere al risultato, per prima cosa si è effettuata la sostituzione di variabile $t=hz$; poi si è integrato per parti; ed infine si è tenuto conto del fatto che

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}$

come si può ricavare dalla condizione di normalizzazione della funzione di Gauss per il particolare valore $h=1$.

Concludendo:

• Per misure affette da errori distribuiti secondo la legge normale, il rapporto tra l'errore quadratico medio $\sigma$ e l’errore medio a vale

${\frac {\sigma }{a}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}=1.2533\ldots ~~$.

• Per misure affette da errori distribuiti secondo la legge normale, l’errore quadratico medio ed il modulo di precisione h sono legati dalla

$\sigma ={\frac {1}{h{\sqrt {2}}}}$.

• L’errore medio ed il modulo di precisione sono invece legati dalla

$a={\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}$.

Sostituendo nella (9.1) il valore di h in funzione di $\sigma$, la legge di Gauss si può quindi anche scrivere nella forma equivalente

$f(z)={\dfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

(9.2)