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Capitolo 9 - La legge di Gauss

di un numero infinito di misure effettuate; questo valore medio sappiamo dall’equazione (6.2) che si dovrà ricavare calcolando l’integrale

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!W(z)\cdot f(z)\,\mathrm {d} z$

dove per $f(z)$ si intende la funzione densità di probabilità dello scarto dal valore vero, che supporremo qui essere la distribuzione normale (9.1).

Se vogliamo ad esempio calcolare il valore medio dello scarto z, questo è dato dalla

$E(z)\;=\;{\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!z\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z=0$.

Il risultato è immediato considerando che $f(z)$ è una funzione simmetrica mentre z è antisimmetrica: in definitiva, ad ogni intervallino centrato su un dato valore $z>0$ possiamo associarne uno uguale centrato sul punto $-z$, in cui il prodotto $z\,f(z)\,\mathrm {d} z$ assume valori uguali in modulo ma di segno opposto; così che la loro somma sia zero. Essendo poi

$E(z)\;=\;E\left(x-x^{*}\right)\;=\;E(x)-x^{*}$

abbiamo così dimostrato quanto assunto nel paragrafo (5.2), ossia che

Il valore medio della popolazione delle misure di una grandezza fisica affette solo da errori casuali esiste, e coincide con il valore vero della grandezza misurata.

Cerchiamo ora il valore medio del modulo dello scarto $E{\bigl (}|z|{\bigr )}$:

$E{\bigl (}|z|{\bigr )}$	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\!|z|\,f(z)\,\mathrm {d} z$
	$=2\int _{0}^{+\infty }\!z\,f(z)\,\mathrm {d} z$
	$={\frac {2h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }\!z\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z$
	$={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }\!e^{-h^{2}t}\,\mathrm {d} t$
	$=-{\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}\left[e^{-h^{2}t}\right]_{0}^{+\infty }$
	$={\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}$

dove si è eseguito il cambio di variabile $t=z^{2}$.