Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.5

by Maurizio Loreti

5.5 L'errore della media dei campioni

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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5.5 Lʼerrore della media dei campioni

Torniamo ora ad occuparci dello studio delle proprietà statistiche della media aritmetica di un campione di $N$ misure indipendenti estratto da una popolazione,

${\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i};$

e cerchiamo in particolare di determinarne la varianza. Applicando lʼequazione (5.5) appena dimostrata, risulta

${\sigma _{\bar {x}}}^{2}$	$={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}{\sigma _{x_{i}}}^{2}$
	$={\frac {1}{N^{2}}}\cdot N{\sigma _{x}}^{2}$

ed infine

${\sigma _{\bar {x}}}^{2}={\frac {{\sigma _{x}}^{2}}{N}}$

(5.6)

In definitiva abbiamo dimostrato che

• Le medie aritmetiche di campioni di N misure hanno varianza pari alla varianza della popolazione da cui le misure provengono, divisa per la dimensione dei campioni;

e conseguentemente

• Lʼerrore quadratico medio della media di un campione è minore dellʼanalogo errore delle singole misure, e tende a zero al crescere del numero di misure effettuato.