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Capitolo 3 - Elementi di teoria della probabilità

3.3.1 L’evento complementare

La mancata realizzazione dell’evento E costituisce l’evento complementare ad E, che indicheremo con ${\bar {E}}$; i due eventi $~E$ ed ${\bar {E}}$ si escludono mutuamente, ed esauriscono l’insieme di tutti i possibili risultati di una prova od esperimento elementare del tipo considerato. La frequenza relativa di ${\bar {E}}$ su N prove è

$f\left({\bar {E}}\right)={\frac {N-n}{N}}=1-{\frac {n}{N}}=1-f(E),$

$p\left({\bar {E}}\right)=1-p(E)\$

o anche

$\ p(E)+p\left({\bar {E}}\right)=1.$

Analogamente si può dimostrare che, se $A,B,\ldots ,Z$ sono eventi casuali mutuamente esclusivi e che esauriscono l’insieme di tutti i possibili risultati, vale la

$p(A)+p(B)+\cdots +p(Z)=1.$

(3.1)

3.3.2 Probabilità totale

Il risultato di una prova o esperimento più complesso può essere costituito dal verificarsi di due eventi simultanei in luogo di uno solo; come esempio, si consideri il lancio di una moneta e l’estrazione contemporanea di una carta da un mazzo. Se $E$ indica l’apparizione della testa (${\bar {E}}$ allora sarà l’apparizione della croce) ed $F$ l’estrazione di una carta nera (${\bar {E}}$ di una carta rossa), esistono quattro eventi fondamentali non ulteriormente decomponibili e che si escludono vicendevolmente: $~EF$, $E{\bar {F}}$, ${\bar {E}}F$ e ${\bar {E}}{\bar {F}}$.

Il simbolo $EF$ indica qui l’evento composto prodotto logico dei due eventi semplici $E$ ed $F$, cioè quello consistente nel verificarsi sia dell’uno che dell’altro. Se ora, su $N$ prove effettuate, la frequenza assoluta con cui i quattro eventi fondamentali si sono verificati è quella indicata nella seguente tabella:

	$~F~$	$~{\bar {F}}~$
$~E~$	$n_{11}$	$n_{12}$
$~{\bar {E}}~$	$n_{21}$	$n_{22}$

le rispettive frequenze relative saranno

$f\left(EF\right)={\frac {n_{11}}{N}}$	$f\left(E{\bar {F}}\right)={\frac {n_{12}}{N}}$
$f\left({\bar {E}}F\right)={\frac {n_{21}}{N}}$	$f\left({\bar {E}}{\bar {F}}\right)={\frac {n_{22}}{N}}$.