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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/79: differenze tra le versioni

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{{ni}}Variando ω, questi due poli generano le due ''linee de’ poli'' situate rispettivamente ne’ piani [[#eq17|17)]] e [[#eq16|16)]]. Le equazioni della retta che unisce i due poli corrispondenti ad ω qualsivoglia si ponno scrivere così:</p>
{{ni}}Variando ω, questi due poli generano le due ''linee de’ poli'' situate rispettivamente ne’ piani [[#eq17|17)]] e [[#eq16|16)]]. Le equazioni della retta che unisce i due poli corrispondenti ad ω qualsivoglia si ponno scrivere così:</p>
{{Centrato}}<math>\frac{y(1-2k)}{2-k}</math>{{larger|(}}4A’ + 3''k''B’ — 6''k''<sup>2</sup>C’ + 4''k''<sup>3</sup>D’{{larger|)}}
{{Blocco centrato|style=text-align:right|<math>\frac{y(1-2k)}{2-k}</math>{{larger|(}}4A’ + 3''k''B’ — 6''k''<sup>2</sup>C’ + 4''k''<sup>3</sup>D’{{larger|)}}<br/>+ {{larger|(}}A’ — 6''k''B’ + 12''k''<sup>2</sup>C’ — 8''k''<sup>3</sup>D’{{larger|)}} <nowiki>=</nowiki> 0}}
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#D’) (A’ eppero, variando c* ossia variando /, questa retta genera un iperboloide. Cioe: dati due piani tra loro congiunti, le linee de* poli in essi situate giacdono sopra di uno stesso iperboloide ad una falda.


{{Blocco centrato|style=text-align:right|<math>\frac{y(1-2k)}{2-k}</math>{{larger|(}}8A’ — 12''k''B’ + 6''k''<sup>2</sup>C’ — ''k''<sup>3</sup>D’{{larger|)}}<br/>— {{larger|(}}A’ — 6''k''B’ + 3''k''<sup>2</sup>C’ + 4''k''<sup>3</sup>D’{{larger|)}} <nowiki>=</nowiki> 0}}
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29. Siano date nello spazio la cubica gobba 2) e le due rette:


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aZC =, B (c + dC + cdV = Q aC =, B situate comunque Tuna rispetto all’altra. Qual’e la superficie rigata generata da una retta mobile che incontri costantemente quelle tre linee (direttrici)? Pongasi per brevita:


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epperò, variando ω ossia variando ''y'', questa retta genera un iperboloide. Cioè: ''dati due piani tra loro congiunti, le linee de’ poli in essi situate giacciono sopra di uno stesso iperboloide ad una falda.''
E = B (c + d)C + cdV E; = B ( l’+ 8)0 + 80 C
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Essendo E==H==0, E / = H’==0 le equazioni delle due direttrici rettilinee, la ge neratrice potra rappresentarsi colle:


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{{§|29|29.}} Siano date nello spazio la cubica gobba [[#eq2|2)]] e le due rette:
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E XH = 0, E’ X’H’= purchfe si determinino X e V in modo che queste equazioni siano soddisfatte entrambe dalle 2) ossia da:
{{Centrato}}A — (''a'' + ''b'')B + ''ab''C = 0,{{nbsp|10}}B — (''c'' + ''d'')C + ''cd''D = 0


A — (α + β)B + αβC = 0,{{nbsp|10}}B — (γ + δ)C + γδD = 0</div>
E: H: E’: H’= (co c)(o d): o)(co a)(co &): (o?)(* 8): w(o a) (to (3) onde dovra essere:


⚫
Le equazioni della retta generatrice saranno per conseguenza:


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situate comunque l’una rispetto all’altra. Qual’è la superficie rigata generata da una retta mobile che incontri costantemente quelle tre linee (direttrici)? Pongasi per brevità:
oG cdH=, o 3 E’ o e F.-f (oG’YSH; = 0.
{|align=center
|E = B — (''c'' + ''d'')C + ''cd''D || ||E’ = B — (γ + δ)C + γδD
|-
|H = A — (''a'' + ''b'')B + ''ab''C || ||H’ = A — (α + β)B + αβC
|-
|F = (''a'' + ''b'')E + H || || F’ = (α + β)E’ + H’
|-
|G = (''c'' + ''d'')H + ''ab''E || || G’ = (γ + δ)H’ + αβE’.
|}



Cremona, tomo I.
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Essendo E = H = 0, E’ = H’ = 0 le equazioni delle due direttrici rettilinee, la generatrice potrà rappresentarsi colle:
{{Centrato}}E — λH = 0,{{nbsp|10}}E’ — λ’H’ = 0</div>


⚫
purchè si determinino λ e λ’ in modo che queste equazioni siano soddisfatte entrambe dalle [[#eq2|2)]] ossia da:
{{Blocco centrato|style=text-align:right|E : H : E’ : H’ <nowiki>=</nowiki> (ω — ''c'')(ω — ''d'') : ω(ω — ''a'')(ω — ''b'') : (ω — γ)(ω — δ)<br/>: ω(ω — α)(ω — β)}}


onde dovrà essere:
{{Centrato|<math>\lambda = \frac{(\omega-c)(\omega-d)}{\omega(\omega-a)(\omega-b)},</math>{{nbsp|10}}<math>\lambda' = \frac{(\omega-\gamma)(\omega-\delta)}{\omega(\omega-\alpha)(\omega-\beta)}.</math>}}

⚫
Le equazioni della retta generatrice saranno per conseguenza:
{{Centrato}}ω<sup>3</sup>E — ω<sup>2</sup>F + ωG — ''cd''H = 0,{{nbsp|10}}ω<sup>3</sup>E’ — ω<sup>2</sup>F’ + ωG’ — γδH’ = 0.</div>
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