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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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Variando ω, questi due poli generano le due linee de’ poli situate rispettivamente ne’ piani 17) e 16). Le equazioni della retta che unisce i due poli corrispondenti ad ω qualsivoglia si ponno scrivere così:

${\frac {y(1-2k)}{2-k}}$(4A’ + 3kB’ — 6k²C’ + 4k³D’)
+ (A’ — 6kB’ + 12k²C’ — 8k³D’) = 0

${\frac {y(1-2k)}{2-k}}$(8A’ — 12kB’ + 6k²C’ — k³D’)
— (A’ — 6kB’ + 3k²C’ + 4k³D’) = 0

epperò, variando ω ossia variando y, questa retta genera un iperboloide. Cioè: dati due piani tra loro congiunti, le linee de’ poli in essi situate giacciono sopra di uno stesso iperboloide ad una falda.

29. Siano date nello spazio la cubica gobba 2) e le due rette:

A — (a + b)B + abC = 0,          B — (c + d)C + cdD = 0

A — (α + β)B + αβC = 0,          B — (γ + δ)C + γδD = 0

situate comunque l’una rispetto all’altra. Qual’è la superficie rigata generata da una retta mobile che incontri costantemente quelle tre linee (direttrici)? Pongasi per brevità:

E = B — (c + d)C + cdD		E’ = B — (γ + δ)C + γδD
H = A — (a + b)B + abC		H’ = A — (α + β)B + αβC
F = (a + b)E + H		F’ = (α + β)E’ + H’
G = (c + d)H + abE		G’ = (γ + δ)H’ + αβE’.

Essendo E = H = 0, E’ = H’ = 0 le equazioni delle due direttrici rettilinee, la generatrice potrà rappresentarsi colle:

E — λH = 0,          E’ — λ’H’ = 0

purchè si determinino λ e λ’ in modo che queste equazioni siano soddisfatte entrambe dalle 2) ossia da:

E : H : E’ : H’ = (ω — c)(ω — d) : ω(ω — a)(ω — b) : (ω — γ)(ω — δ)
: ω(ω — α)(ω — β)

onde dovrà essere:

$\lambda ={\frac {(\omega -c)(\omega -d)}{\omega (\omega -a)(\omega -b)}},$          $\lambda '={\frac {(\omega -\gamma )(\omega -\delta )}{\omega (\omega -\alpha )(\omega -\beta )}}.$

Le equazioni della retta generatrice saranno per conseguenza:

ω³E — ω²F + ωG — cdH = 0,          ω³E’ — ω²F’ + ωG’ — γδH’ = 0.

Cremona, tomo I.

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