Principii di geometria/Appendice
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Le dimostrazioni che si dànno in Pangeometria delle proprietà delle parallele sono tutte basate sulle idee di moto e di grandezza.
È quindi interessante di vedere quali proprietà si possano dedurre dai soli Assiomi qui enunciati.
L’esistenza di un raggio passante per un dato punto e parallelo ad un dato raggio si può dimostrare, ove si ammetta il seguente
Assioma XVII.
h∈ Cnv.a,b∈1.a∈.b- ∈h:⊃.·.x∈a∪ ab∪b.ax⊃h.bx⊃-h:-=x∧.
«Se h è una figura convessa, e se a e b sono punti, il primo appartenente a h, il secondo non, allora si può determinare un punto x, appartenente al segmento ab o ai suoi estremi, in guisa che il segmento ax sia contenuto in h, e il segmento bx sia tutto fuori di h.
Questo Assioma, che esprime in parte la proprietà che suolsi chiamare la continuità della retta, è necessario in molte altre questioni.
Si possono allora dimostrare le proposizioni
a,b,c,d∈1.a1b||c1d:⊃.c1d||a1b.
a,b,c,d∈1.a1b||c1d.e∈'a1b:⊃.a1e||c1d.
a,b,c,d,e,f∈1.a1b||e1f.c1d||e1f:⊃.a1b||ef.
Del moto.
Il trasporto d’una figura rigida da una posizione ad un’altra dello spazio, è un ente che occorre assumere senza definizione, ovvero si può definire mediante gli enti finora introdotti?
Possiamo assumere come noto il concetto di corrispondenza o di funzione, per cui ad ogni ente d’un dato sistema si fa corrispondere un nuovo ente dello stesso o d’un altro sistema, e ritenerlo appartenente alla Logica; nel mio opuscolo «Arithmetices principia» ne sono esposte alcune proprietà.
Allora si può definire l’omografia, come una corrispondenza dei punti dello spazio, ed il trasporto d’una figura da una posizione ad un’altra, ossia l’eguaglianza di due figure come una particolare omografia.
Delle figure convesse.
Nelle pagine precedenti furono sviluppate parecchie proprietà
delle figure convesse. Meritano ancora interesse le seguenti proprietà metriche.
«Se h è una figura piana, convessa, finita, il limite superiore delle aree poligonali interne ad h è eguale al limite inferiore delle aree poligonali contenenti nel loro interno h; e il limite superiore dei perimetri dei primi poligoni (supposti convessi) è eguale al limite inferiore dei perimetri dei secondi poligoni».
Sussiste una proprietà analoga per le figure solide.