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proposizione che segue «due piani aventi un punto comune, hanno comune una retta».
Si osservi però che si può dimostrare, senza bisogno degli assiomi del presente paragrafo, la proposizione:
p ∈ 3.a,b,c,d ∈ p.a — = b.c — = d.e ∈ 1.e — ∈ p : ⊃ .·. r ⊃ (eab)’’ .r ⊃(ecd)’’:— = r∧.
«I piani che uniscono un punto e con due rette ab e cd d’uno stesso piano non passante per e s’incontrano secondo una retta».
Di questo solo caso particolare si fa uso nella Geometria di posizione. Di qui (e dall’Ass. XV) si deduce il noto teorema sui triangoli omologici, e le innumerevoli conseguenze. Quindi la Geometria di posizione non ha bisogno dell’Assioma XVI.
APPENDICE
Delle parallele.
Le parallele si possono definire, coi concetti finora introdotti, o secondo Euclide, o secondo la Pangeometria; quindi si può svilupparne la teoria.
Che il postulato di Euclide sulle parallele non sia contenuto negli Assiomi qui enunciati, risulta da ciò, che, se col segno 1 si intendono i punti interni ad una data sfera, o ad un dato solido convesso, e ad a’b si attribuisce il comune significato, allora sussistono tutti gli assiomi finora enunciati; ma non è verificato il postulato di Euclide.
Attenendoci quindi ai metodi della Pangeometria, daremo della relazione «il raggio a’b è parallelo al raggio c’d, e che indicheremo con a’b||c’d, la seguente
Definizione.
a,b,c,d ∈ 1.⊃:a’||c’d.=bc’d=da’b.
