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3.5 - La convergenza statistica

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Qualora si assuma come definizione di probabilità quella assiomatica, è effettivamente possibile dimostrare (come vedremo più avanti nel paragrafo 5.6, ed in particolare nel sottoparagrafo 5.6.3) come, al crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un qualunque evento casuale converga verso la probabilità dellʼevento stesso.

È tuttavia assai importante sottolineare come questa legge (legge dei grandi numeri, o teorema di Bernoulli) non implichi una convergenza esatta nel senso dellʼanalisi: non implichi cioè che, scelto un qualunque numero positivo $\epsilon$, sia possibile determinare in conseguenza un intero $M$ tale che, se si effettuano $N$ prove, per ogni $N>M$ risulti sicuramente $|f(E)-p(E)|<\epsilon$. Si pensi in proposito alla chiara impossibilità di fissare un numero $M$ tale che, quando si lanci un dado più di $M$ volte, si sia certi di ottenere almeno un sei: al crescere di $M$ crescerà la probabilità del verificarsi di questo evento, ma non si potrà mai raggiungere la certezza.

Nella legge dei grandi numeri il concetto di convergenza va inteso invece in senso statistico (o debole, o stocastico); si dice che allʼaumentare del numero di prove $N$ una grandezza $x$ tende statisticamente al limite $X$ quando, scelta una qualsiasi coppia di numeri positivi $\epsilon$ e $\delta$, si può in conseguenza determinare un numero intero $M$ tale che, se si effettua un numero di prove $N$ maggiore di $M$, la probabilità che $x$ differisca da $X$ per più di $\epsilon$ risulti minore di $\delta$. Indicando col simbolo $\Pr(E)$ la probabilità di un evento $E$, la definizione di convergenza statistica è

$\forall \epsilon ,\delta >0\quad \rightarrow \quad \exists M:\quad N>M\Rightarrow \Pr {\Bigl (}|x-X|\geq \epsilon {\Bigr )}\leq \delta$.

(3.8)

Nel paragrafo 5.6 vedremo che, dato un qualunque evento casuale $E$ avente probabilità $\Pr(E)$ di manifestarsi, si può dimostrare che la sua frequenza relativa $f(E)$ su $N$ prove converge statisticamente a $\Pr(E)$ allʼaumentare di $N$; o, in altre parole, come aumentando il numero di prove si possa rendere tanto improbabile quanto si vuole che la frequenza relativa e la probabilità di un qualunque evento casuale $E$ differiscano più di una quantità prefissata.