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Capitolo 3 - Elementi di teoria della probabilità

• Dati due insiemi $A$ e $B$, visto che qualunque essi siano valgono le seguenti identità:

$A$	$=$	$(A\cap B)\cup \left(A\cap {\bar {B}}\right)$
$B$	$=$	$(A\cap B)\cup \left({\bar {A}}\cap B\right)$
$(A\cup B)$	$=$	$(A\cap B)\cup \left(A\cap {\bar {B}}\right)\cup \left({\bar {A}}\cap B\right)$

e applicando a queste tre relazioni (dopo aver verificato che gli insiemi a secondo membro sono tutti disgiunti) la proprietà 3 e sommando e sottraendo opportunamente i risultati, si ottiene la legge della probabilità totale nella sua forma più generale:

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.

Definendo poi $p(E\vert A)$ (con $p(A)\neq 0$) come

$p(E|A)={\frac {p(E\cap A)}{p(A)}},$

(3.7)

è facile riconoscere che anche essa rappresenta una probabilità: essendo $p(E\cap A)\geq 0$ e $p(A)>0$, $p(E\vert A)$ soddisfa alla proprietà 1; essendo $S\cap A=A$, $p(S\vert A)=p(A)/p(A)=1$, e $p(E\vert A)$ soddisfa alla proprietà 2; infine, se $E_{1},E_{2},\ldots$ sono insiemi a due a due disgiunti,

$p(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots \vert A)$	$=$	${\frac {p[(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )\cap A]}{p(A)}}$
	$=$	${\frac {p[(E_{1}\cap A)\cup (E_{2}\cap A)\cup \cdots ]}{p(A)}}$
	$=$	${\frac {p(E_{1}\cap A)}{p(A)}}+{\frac {p(E_{2}\cap A)}{p(A)}}+\cdots$
	$=$	$p(E_{1}\vert A)+p(E_{2}\vert A)+\cdots$

e $p(E\vert A)$ soddisfa anche alla proprietà 3. Dalla (3.7) si ottiene infine la legge della probabilità composta nella sua forma più generale,

$p(A\cap B)=p(A\vert B)\cdot p(B)=p(B\vert A)\cdot p(A).$

3.5 La convergenza statistica

Difetto della definizione empirica di probabilità, oltre a quello di essere basata su di un esperimento, è quello di presupporre a priori una convergenza della frequenza relativa $f$, al crescere di $N$, verso un valore ben definito: valore che si assume poi come probabilità dellʼevento.