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5.4 - La varianza delle combinazioni lineari

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Infatti, se le due variabili casuali $x$ e $\xi$ soddisfano questa ipotesi, allora deve risultare:

$~\xi$	$=$	$x+K$
$E(\xi )$	$=$	$E(x)+K$
${\sigma _{\xi }}^{2}$	$=$	$E\left\{{\bigl [}\xi -E(\xi ){\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=$	$E\left\{{\bigl [}x+K-E(x)-K{\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=$	$E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=$	${\sigma _{x}}^{2}$.

Ora, date due variabili casuali $x$ e $y$ qualsiasi, ed una loro generica combinazione lineare $z=ax+by$, basta definire altre due variabili casuali ausiliarie

$\xi =x-E(x)$

ed

$\eta =y-E(y)$

(che ovviamente soddisfano l’ipotesi di avere speranza matematica zero): pertanto la loro combinazione lineare $\zeta =a\xi +b\eta$, che differisce anch’essa da $z$ per un fattore costante e pari ad $aE(x)+bE(y)$, avrà varianza che, in conseguenza della (5.4), sarà data dalla

${\sigma _{\zeta }}^{2}=a^{2}{\sigma _{\xi }}^{2}+b^{2}{\sigma _{\eta }}^{2}$.

Ma per quanto detto, $x$ e $\xi$ hanno la stessa varianza; così $y$ ed $\eta$, e $z$ e $\zeta$. Ne consegue come per qualsiasi coppia di variabili casuali (purché però statisticamente indipendenti) vale la relazione (5.4), che possiamo enunciare nel modo seguente:

Una combinazione lineare, a coefficienti costanti, di due variabili casuali statisticamente indipendenti ha varianza uguale alla combinazione lineare delle rispettive varianze, con coefficienti pari ai quadrati dei coefficienti rispettivi¹.

È ovvio poi estendere (per induzione completa) questo risultato alla combinazione lineare di un numero finito qualsivoglia di variabili casuali, che siano però sempre tra loro tutte statisticamente indipendenti: se

$F=ax+by+cz+\cdots$

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1. O, come si usa dire in sintesi, gli errori si combinano quadraticamente. Una formula più generale, che si può applicare a coppie di variabili casuali qualunque, verrà dimostrata nell’appendice C.