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Appendice C

Covarianza e correlazione

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C.1 La covarianza

Per due variabili casuali $x$ ed $y$ si definisce la covarianza, che si indica con uno dei due simboli ${\text{Cov}}(x,y)$ o $K_{xy}$, nel seguente modo:

${\text{Cov}}(x,y)$	$=E\left\{\left[x-E(x)\right]\left[y-E(y)\right]\right\}$
	$=E(xy)-E(x)\cdot E(y)$.

Per provare l’equivalenza delle due forme, basta osservare che¹

${\text{Cov}}(x,y)$	$=E\left\{\left[x-E(x)\right]\left[y-E(y)\right]\right\}$
	$=\sum \nolimits _{ij}P_{ij}\left[x_{i}-E(x)\right]\left[y_{j}-E(y)\right]$
	$=\sum \nolimits _{ij}P_{ij}\,x_{i}\,y_{j}\;-\;E(x)\sum \nolimits _{ij}P_{ij}\,y_{j}\;-\;E(y)\sum \nolimits _{ij}P_{ij}\,x_{i}\;+$
	$+E(x)\,E(y)\sum \nolimits _{ij}P_{ij}$
	$=E(xy)\;-\;E(x)\sum \nolimits _{j}q_{j}\,y_{j}\;-\;E(y)\sum \nolimits _{i}p_{i}\,x_{i}\;+\;E(x)\,E(y)$
	$=E(xy)\;-\;E(x)\cdot E(y)$

ricordando alcune relazioni già ricavate nel capitolo 5, e valide per variabili casuali qualunque: in particolare, anche non statisticamente indipendenti.

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1. Nel seguito useremo per la varianza, per le probabilità di ottenere i vari valori $x_{i}$ o $y_{j}$ e così via, le stesse notazioni già introdotte nel capitolo 5.

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