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Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete

sticamente indipendenti. Usando gli stessi simboli già introdotti nel paragrafo 5.3, e dette $x$ ed $y$ due variabili casuali che godano di tale proprietà, sappiamo dall’equazione (3.4) che la probabilità $P_{jk}$ che contemporaneamente risulti sia $x=x_{j}$ che $y=y_{k}$ è data dal prodotto delle probabilità rispettive $p_{j}$ e $q_{k}$.

Per semplificare i calcoli, dimostriamo questo teorema dapprima nel caso particolare di due popolazioni $x$ e $y$ che abbiano speranza matematica nulla; estenderemo poi il risultato a due variabili (sempre statisticamente indipendenti) aventi speranza matematica qualunque. Ciò premesso, la combinazione lineare

$z=ax+by$

ha anch’essa speranza matematica zero: infatti applicando l’equazione (5.2) risulta

$E(z)=E(ax+by)=aE(x)+bE(y)=0$

e si può allora ricavare (indicando con i simboli ${\sigma _{x}}^{2}$, ${\sigma _{y}}^{2}$ e ${\sigma _{z}}^{2}$ le varianze di $x$, $y$ e $z$ rispettivamente):

${\sigma _{z}}^{2}$	$=$	$E\left\{{\bigl [}z-E(z){\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=$	$E\left\{z^{2}\right\}$
	$=$	$E\left\{\left(ax+by\right)^{2}\right\}$
	$=$	$\sum \nolimits _{jk}P_{jk}\left(ax_{j}+by_{k}\right)^{2}$
	$=$	$\sum \nolimits _{jk}p_{j}q_{k}{\bigl (}a^{2}{x_{j}}^{2}+b^{2}{y_{k}}^{2}+2abx_{j}\,y_{k}{\bigr )}$
	$=$	$a^{2}\sum \nolimits _{k}q_{k}\sum \nolimits _{j}p_{j}{x_{j}}^{2}+b^{2}\sum \nolimits _{j}p_{j}\sum \nolimits _{k}q_{k}{y_{k}}^{2}+2ab\sum \nolimits _{j}p_{j}x_{j}\sum \nolimits _{k}q_{k}y_{k}$
	$=$	$a^{2}{\sigma _{x}}^{2}\,\sum \nolimits _{k}q_{k}+b^{2}{\sigma _{y}}^{2}\sum \nolimits _{j}p_{j}+2abE(x)E(y)$

ed infine

${\sigma _{z}}^{2}=a^{2}{\sigma _{x}}^{2}+b^{2}{\sigma _{y}}^{2}.$

(5.4)

Allo scopo di estendere la validità dell’equazione (5.4) appena dimostrata a due variabili casuali $x$ e $y$ aventi speranza matematica anche differente da zero, dimostriamo ora il seguente

Teorema: due variabili casuali che differiscano per un fattore costante hanno la stessa varianza.