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3.3 - Proprietà della probabilità

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finito di modalità equiprobabili (ad esempio per i giochi d’azzardo), ma è intrinsecamente insoddisfacente perché racchiude in sé stessa una tautologia: si nota immediatamente come, per definire la probabilità, essa presupponga che si sia già in grado di valutare l’equiprobabilità delle varie modalità con cui può manifestarsi l’evento considerato. Nel caso di una variabile casuale continua, ciò si traduce nell’indeterminazione di quale tra le variabili topologicamente equivalenti (ossia legate da trasformazioni continue) sia quella equiprobabile, cioè con probabilità per ogni intervallo proporzionale all’ampiezza dell’intervallo stesso.

Si possono dare della probabilità definizioni più soddisfacenti dal punto di vista logico, ad esempio la seguente (definizione empirica¹, teorizzata da von Mises²): definiamo la frequenza relativa $f(E)$ con cui un evento casuale E si è presentato in un numero totale N di casi reali come il rapporto tra il numero n di volte in cui l’evento si è effettivamente prodotto (frequenza assoluta) ed il numero N delle prove effettuate; la probabilità di E si definisce euristicamente come l’estensione del concetto di frequenza relativa su un numero grandissimo di prove, cioè

$p(E)\;\approx \;\lim _{N\rightarrow \infty }f(E)\;=\;\lim _{N\rightarrow \infty }\left({\frac {n}{N}}\right).$

3.3 Proprietà della probabilità

Proseguendo in questa nostra esposizione, useremo ora la definizione empirica per ricavare alcune proprietà delle probabilità di eventi casuali: queste stesse proprietà, come vedremo nel paragrafo 3.4.1, possono essere ricavate a partire dalla definizione assiomatica (matematicamente soddisfacente, e che verrà presentata nel paragrafo 3.4). Il motivo per cui ci basiamo sulla definizione empirica è sia la maggiore semplicità delle dimostrazioni che la concretezza e l’intuitività dei ragionamenti, che si possono facilmente esemplificare con semplici procedure pratiche come il lancio di monete e dadi.

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1. Anche questa definizione non è completamente soddisfacente dal punto di vista concettuale (come vedremo più in dettaglio nel paragrafo 3.5); ma è tra le più intuitive, perché tra le più vicine all’uso pratico.
2. Richard von Mises fu un matematico che visse dal 1883 al 1953; compì ricerche nei campi della probabilità e della statistica, ma soprattutto in quello della matematica applicata alla meccanica dei fluidi (nel 1913 istituì all’Università di Vienna il primo corso al mondo sul volo, e nel 1915 progetto un aereo che pilotò personalmente nel corso della I guerra mondiale).