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3.4 - Definizione assiomatica della probabilità

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3.4 Definizione assiomatica della probabilità

Per completezza, accenniamo infine alla cosiddetta definizione assiomatica della probabilità¹, che è matematicamente consistente.

Sia $S$ lʼinsieme di tutti i possibili risultati di un fenomeno casuale, ed $E$ un qualsiasi evento casuale definito su $S$ (ossia un qualsiasi sottoinsieme $E\subseteq S$ ). Si definisce come “probabilità” di $E$ un numero, $p(E)$ , associato univocamente allʼevento stesso, che soddisfi alle seguenti tre proprietà:

$p(E)\geq 0$ per ogni $E$ ;
$p(S)=1$ ;
$p(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )=p(E_{1})+p(E_{2})+\cdots$ per qualsiasi insieme di eventi $E_{1},E_{2},\ldots$ , in numero finito od infinito e a due a due senza alcun elemento in comune (ossia tali che $E_{i}\cap E_{j}=\emptyset$ per ogni $i\neq j$ ).

Questa definizione, pur matematicamente consistente², non dice nulla su come assegnare dei valori alla probabilità; tuttavia su tali valori si possono fare delle ipotesi, verificabili poi analizzando gli eventi reali osservati.

3.4.1 Le leggi della probabilità e la definizione assiomatica

Dalla definizione assiomatica è possibile ricavare, come abbiamo già prima accennato, le stesse leggi cui siamo giunti a partire dalla definizione empirica. Infatti:

Essendo ${S}\cup \emptyset ={S}$ , la proprietà 3 (applicabile perché $S\cap \emptyset =\emptyset$ ) implica $p(S)+p(\emptyset )=p(S)$ ; da cui ricaviamo, vista la proprietà 2,

$p(\emptyset )=0.$

Se $A\supset B$ , essendo in questo caso $A=B\cup \left(A\cap {\bar {B}}\right)$ , applicando la proprietà 3 (il che è lecito dato che $B\cap \left(A\cap {\bar {B}}\right)=\emptyset$ ) si ottiene $p(A)=p(B)+p\left(A\cap {\bar {B}}\right)$ ; e, vista la proprietà 1,

$A\supset B\quad \Rightarrow \quad p(A)\geq p(B).$

↑ Questa definizione è dovuta allʼeminente matematico russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov; vissuto dal 1903 al 1987, si occupò principalmente di statistica e di topologia. Fu enunciata nel suo libro del 1933 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
↑ Volendo essere del tutto rigorosi, questa definizione risulta valida solo se lʼinsieme dei possibili risultati è composto da un numero finito o da unʼinfinità numerabile di elementi; la reale definizione assiomatica della probabilità è leggermente differente (ed ancora più astratta).

[1] Questa definizione è dovuta allʼeminente matematico russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov; vissuto dal 1903 al 1987, si occupò principalmente di statistica e di topologia. Fu enunciata nel suo libro del 1933 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

[2] Volendo essere del tutto rigorosi, questa definizione risulta valida solo se lʼinsieme dei possibili risultati è composto da un numero finito o da unʼinfinità numerabile di elementi; la reale definizione assiomatica della probabilità è leggermente differente (ed ancora più astratta).

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