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3.4 - Definizione assiomatica della probabilità 27


3.4 Definizione assiomatica della probabilità

Per completezza, accenniamo infine alla cosiddetta definizione assiomatica della probabilità1, che è matematicamente consistente.

Sia lʼinsieme di tutti i possibili risultati di un fenomeno casuale, ed un qualsiasi evento casuale definito su (ossia un qualsiasi sottoinsieme ). Si definisce come “probabilità” di un numero, , associato univocamente allʼevento stesso, che soddisfi alle seguenti tre proprietà:
  1. per ogni ;
  2. ;
  3. per qualsiasi insieme di eventi , in numero finito od infinito e a due a due senza alcun elemento in comune (ossia tali che per ogni ).

Questa definizione, pur matematicamente consistente2, non dice nulla su come assegnare dei valori alla probabilità; tuttavia su tali valori si possono fare delle ipotesi, verificabili poi analizzando gli eventi reali osservati.

3.4.1 Le leggi della probabilità e la definizione assiomatica

Dalla definizione assiomatica è possibile ricavare, come abbiamo già prima accennato, le stesse leggi cui siamo giunti a partire dalla definizione empirica. Infatti:

  • Essendo , la proprietà 3 (applicabile perché ) implica ; da cui ricaviamo, vista la proprietà 2,

  • Se , essendo in questo caso , applicando la proprietà 3 (il che è lecito dato che ) si ottiene ; e, vista la proprietà 1,



  1. Questa definizione è dovuta allʼeminente matematico russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov; vissuto dal 1903 al 1987, si occupò principalmente di statistica e di topologia. Fu enunciata nel suo libro del 1933 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
  2. Volendo essere del tutto rigorosi, questa definizione risulta valida solo se lʼinsieme dei possibili risultati è composto da un numero finito o da unʼinfinità numerabile di elementi; la reale definizione assiomatica della probabilità è leggermente differente (ed ancora più astratta).