C.5 - Applicazioni alla stima di parametri
275
e le derivate seconde
∂
2
∂
μ
2
ln
f
=
1
σ
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}\ln f={\frac {1}{\sigma ^{2}}}}
∂
2
∂
μ
∂
σ
ln
f
=
−
2
x
−
μ
σ
3
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu \,\partial \sigma }}\ln f=-2\,{\frac {x-\mu }{\sigma ^{3}}}}
∂
2
∂
σ
∂
μ
ln
f
=
−
2
x
−
μ
σ
3
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial \sigma \,\partial \mu }}\ln f=-2\,{\frac {x-\mu }{\sigma ^{3}}}}
∂
2
∂
σ
2
ln
f
=
1
σ
2
−
3
(
x
−
μ
)
2
σ
4
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial \sigma ^{2}}}\ln f={\frac {1}{\sigma ^{2}}}-3\,{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{4}}}}
di valori medi
E
(
∂
2
∂
μ
2
ln
f
)
=
−
1
σ
2
{\displaystyle E\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}\ln f\right)=-{\frac {1}{\sigma ^{2}}}}
E
(
∂
2
∂
μ
∂
σ
ln
f
)
=
0
{\displaystyle E\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu \,\partial \sigma }}\ln f\right)=0}
E
(
∂
2
∂
σ
∂
μ
ln
f
)
=
0
{\displaystyle E\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \sigma \,\partial \mu }}\ln f\right)=0}
E
(
∂
2
∂
σ
2
ln
f
)
=
−
2
σ
2
{\displaystyle E\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \sigma ^{2}}}\ln f\right)=-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}}
;
per cui, dalla (C.16) , l’inverso della matrice delle covarianze (che è diagonale) è
V
−
1
=
‖
N
σ
^
2
0
0
2
N
σ
^
2
‖
{\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{\mathbf {-1} }=\left\|{\begin{array}{cc}{\dfrac {N}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}&0\\0&{\dfrac {2N}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}\end{array}}\right\|}
e la matrice
V
{\displaystyle {\boldsymbol {V}}}
stessa vale
V
=
‖
σ
^
2
N
0
0
σ
^
2
2
N
‖
{\displaystyle {\boldsymbol {V}}=\left\|{\begin{array}{cc}{\dfrac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{N}}&0\\0&{\dfrac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{2N}}\end{array}}\right\|}
.
Insomma, oltre alla consueta espressione della varianza della media
Var
(
μ
^
)
=
σ
^
2
N
{\displaystyle {\text{Var}}({\widehat {\mu }})={\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{N}}}
abbiamo ottenuto quella della varianza di
σ
^
{\displaystyle {\widehat {\sigma }}}
Var
(
σ
^
)
=
σ
^
2
2
N
{\displaystyle {\text{Var}}({\widehat {\sigma }})={\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{2N}}}
da confrontare con la (B.1) , in cui però
σ
^
{\displaystyle {\widehat {\sigma }}}
era già stato corretto, moltiplicandolo per un fattore
N
/
(
N
−
1
)
{\displaystyle N/(N-1)}
, per eliminare la distorsione della stima; e la riconferma del fatto, già visto nel paragrafo 12.1 a pagina 203 , che valore medio e varianza di un campione di stime indipendenti sono variabili casuali statisticamente indipendenti tra loro (le covarianze infatti sono nulle).