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C.5 - Applicazioni alla stima di parametri

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e le derivate seconde

${\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}\ln f={\frac {1}{\sigma ^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu \,\partial \sigma }}\ln f=-2\,{\frac {x-\mu }{\sigma ^{3}}}$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial \sigma \,\partial \mu }}\ln f=-2\,{\frac {x-\mu }{\sigma ^{3}}}$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial \sigma ^{2}}}\ln f={\frac {1}{\sigma ^{2}}}-3\,{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{4}}}$

di valori medi

$E\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}\ln f\right)=-{\frac {1}{\sigma ^{2}}}$

$E\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu \,\partial \sigma }}\ln f\right)=0$

$E\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \sigma \,\partial \mu }}\ln f\right)=0$

$E\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \sigma ^{2}}}\ln f\right)=-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}$;

per cui, dalla (C.16), l’inverso della matrice delle covarianze (che è diagonale) è

${\boldsymbol {V}}^{\mathbf {-1} }=\left\|{\begin{array}{cc}{\dfrac {N}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}&0\\0&{\dfrac {2N}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}\end{array}}\right\|$

e la matrice ${\boldsymbol {V}}$ stessa vale

${\boldsymbol {V}}=\left\|{\begin{array}{cc}{\dfrac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{N}}&0\\0&{\dfrac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{2N}}\end{array}}\right\|$.

Insomma, oltre alla consueta espressione della varianza della media

${\text{Var}}({\widehat {\mu }})={\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{N}}$

abbiamo ottenuto quella della varianza di ${\widehat {\sigma }}$

${\text{Var}}({\widehat {\sigma }})={\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{2N}}$

da confrontare con la (B.1), in cui però ${\widehat {\sigma }}$ era già stato corretto, moltiplicandolo per un fattore $N/(N-1)$, per eliminare la distorsione della stima; e la riconferma del fatto, già visto nel paragrafo 12.1 a pagina 203, che valore medio e varianza di un campione di stime indipendenti sono variabili casuali statisticamente indipendenti tra loro (le covarianze infatti sono nulle).