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Appendice B - L'errore della varianza

Se si vuole invece calcolare l’errore da attribuire agli errori quadratici medi, cioè alle quantità $s$ e $\sigma$ radici quadrate delle varianze di cui sopra, non è possibile dare delle formule esatte: la ragione ultima è che il valore medio di $s$ non può essere espresso in forma semplice in termini di grandezze caratteristiche della popolazione.

Per questo motivo è sempre meglio riferirsi ad errori di varianze piuttosto che ad errori di scarti quadratici medi; comunque, in prima approssimazione, l’errore di $\sigma$ si può ricavare da quello su $\sigma ^{2}$ usando la formula di propagazione:

${\text{Var}}(\sigma )\;\approx \;\left({\frac {1}{\tfrac {\mathrm {d} \left(\sigma ^{2}\right)}{\mathrm {d} \sigma }}}\right)^{2}{\text{Var}}{\bigl (}\sigma ^{2}{\bigr )}\;=\;{\frac {1}{4\,\sigma ^{2}}}\,{\text{Var}}{\bigl (}\sigma ^{2}{\bigr )}\;=\;{\frac {\sigma ^{2}}{2\,(N-1)}};$

cioè

$\sigma _{\sigma }\approx {\dfrac {\sigma }{\sqrt {2\,(N-1)}}}$

(B.1)

(il fatto che questa formula sia approssimata risulta chiaramente se si considera che la relazione tra $\sigma ^{2}$ e $\sigma$ è non lineare).

Una conseguenza dell’equazione (B.1) è che l’errore relativo di $\sigma$ dipende solo dal numero di misure; diminuisce poi all’aumentare di esso, ma questa diminuzione è inversamente proporzionale alla radice quadrata di $N$ e risulta perciò lenta.

In altre parole, per diminuire l’errore relativo di $\sigma$ di un ordine di grandezza occorre aumentare il numero delle misure di due ordini di grandezza; $\sigma _{\sigma }/\sigma$ è (circa) il 25% per 10 misure, il 7% per 100 misure ed il 2% per 1000 misure effettuate: e questo è sostanzialmente il motivo per cui, di norma, si scrive l’errore quadratico medio dando per esso una sola cifra significativa.

Due cifre significative reali per $\sigma$ corrisponderebbero infatti ad un suo errore relativo compreso tra il 5% (se la prima cifra significativa di $\sigma$ è 1, ad esempio $\sigma =10\pm 0.5$) e lo 0.5% ($\sigma =99\pm 0.5$); e presupporrebbero quindi che siano state effettuate almeno 200 misure nel caso più favorevole e quasi 20^·000 in quello più sfavorevole.