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C.4 - Applicazioni all’interpolazione lineare

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Figura C1 - Esempio di interpolazione lineare per un insieme di 12 punti.

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dalla somma pesata dei quadrati dei residui). Segni che siano (come nell’esempio di figura C1) per piccole $x$ tutti positivi, poi tutti negativi, ed infine tutti positivi per i valori più grandi delle $x$ suggeriranno che si sta tentando di approssimare con una retta una funzione che in realtà è una curva più complessa (ad esempio una parabola) avente concavità rivolta verso l’alto.

Cominciamo con l’osservare che il valore medio ${\bar {\delta }}$ dei residui è identicamente nullo: infatti dalla (C.7) ricaviamo immediatamente

${\bar {\delta }}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\Bigl [}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)-b\left(x_{i}-{\bar {x}}\right){\Bigr ]}\equiv 0$.

Questo è dovuto al fatto che sia la somma degli scarti $x_{i}-{\bar {x}}$ che quella degli scarti $y_{i}-{\bar {y}}$ sono identicamente nulle in conseguenza della (4.2), ed è vero quindi indipendentemente dal valore di $b$: questa proprietà vale insomma per residui calcolati rispetto a qualunque retta del fascio di centro $({\bar {x}},{\bar {y}})$ cui sappiamo che la retta interpolante deve appartenere.

Continuiamo osservando che i residui $\delta _{i}$ e le coordinate $x_{i}$ hanno tra loro