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C.4 - Applicazioni all’interpolazione lineare

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o anche

$\left(y-{\bar {y}}\right)\;=\;b\left(x-{\bar {x}}\right)$

(in cui $b$ ha il valore (C.6)). Introduciamo ora le due variabili casuali ausiliarie $\xi =x-{\bar {x}}$ e $\eta =y-{\bar {y}}$, per le quali valgono le

${\bar {\xi }}\;=\;0$

e

${\text{Var}}(\xi )\;=\;{\text{Var}}(x)$

(con le analoghe per $\eta$ ed $y$), ed inoltre la

${\text{Cov}}(\xi ,\eta )={\text{Cov}}(x,y)$

ed indichiamo poi con ${\widehat {y}}_{i}$ il valore della $y$ sulla retta interpolante in corrispondenza dell’ascissa $x_{i}$:

${\widehat {y}}_{i}=a+bx_{i}={\bar {y}}+b\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)$

(C.7)

e con $\delta _{i}$ la differenza ${\widehat {y}}_{i}-y_{i}$. Le differenze $\delta _{i}$ prendono il nome di residui, e di essi ci occuperemo ancora più avanti; risulta che

$\sum \nolimits _{i}{\delta _{i}}^{2}$	$=\sum \nolimits _{i}{\Bigl \{}\left[{\bar {y}}+b\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)\right]-y_{i}{\Bigr \}}^{2}$
	$=\sum \nolimits _{i}\left(b\xi _{i}-\eta _{i}\right)^{2}$
	$=b^{2}\sum \nolimits _{i}{\xi _{i}}^{2}+\sum \nolimits _{i}{\eta _{i}}^{2}-2b\sum \nolimits _{i}\xi _{i}\eta _{i}$
	$=N\,b^{2}\,{\text{Var}}(\xi )+N\,{\text{Var}}(\eta )-2Nb\,{\text{Cov}}(\xi ,\eta )$
	$=N\,b^{2}\,{\text{Var}}(x)+N\,{\text{Var}}(y)-2Nb\,{\text{Cov}}(x,y)$
	$=N\,{\text{Var}}(x)\left[{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{{\text{Var}}(x)}}\right]^{2}+N\,{\text{Var}}(y)-2N\,{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{{\text{Var}}(x)}}\,{\text{Cov}}(x,y)$
	$=N\left\{{\text{Var}}(y)-{\frac {\left[{\text{Cov}}(x,y)\right]^{2}}{{\text{Var}}(x)}}\right\}$
	$=N\,{\text{Var}}(y)(1-r^{2})$

in cui $r$ è il coefficiente di correlazione lineare calcolato usando, sempre solo formalmente, i campioni dei valori misurati delle $x$ e delle $y$.

Visto che quest’ultimo, nel calcolo dell’interpolazione lineare fatto con le calcolatrici da tasca, viene in genere dato come sottoprodotto dell’algoritmo,