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13.1 - Un primo esempio

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I criteri da seguire per definire una regione ${\mathcal {R}}$ nella quale rigettare $H_{0}$ sono dettati dalle caratteristiche del processo di generazione: se gli eventi di fondo sono preponderanti rispetto al segnale, ad esempio, bisognerà evitare gli errori di seconda specie per quanto possibile; anche al prezzo di scartare in questo modo una parte consistente del segnale.

Estendendo al caso generale il metodo seguito nei vari casi del capitolo 12 e prima delineato, se si è in grado di associare ad ogni punto dello spazio degli eventi due valori della probabilità (o della densità di probabilità nel caso di variabili continue), sia ammessa vera l'ipotesi nulla che ammessa invece vera l'ipotesi alternativa, si può pensare di usare il loro rapporto per definire la regione di rigetto.

Limitandoci al caso delle variabili continue, insomma, dopo aver definito una nuova variabile casuale $\lambda$ attraverso la

$\lambda ={\frac {{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})}{{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{a})}}$,

possiamo scegliere arbitrariamente un numero reale $k$ e decidere di accettare l'ipotesi $H_{0}$ se $\lambda \geq k$ o di rifiutarla se $\lambda <k$; in definitiva ad ogni $k$ ammissibile è associata una differente regione di rigetto ${\mathcal {R}}_{k}$ definita da

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\lambda ={\frac {{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})}{{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{a})}}<k\right\}$.

${\mathcal {L}}$, nelle espressioni precedenti, è la funzione di verosimiglianza; che rappresenta appunto la densità di probabilità corrispondente all'ottenere (sotto una certa ipotesi) un campione di $N$ valori $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$ (qui indicato sinteticamente come un vettore ${\boldsymbol {x}}$ a $N$ componenti). Ma in base a quale criterio dobbiamo scegliere $k$?

13.1 Un primo esempio

Cominciamo con un esempio didattico: supponiamo che i valori $x_{i}$ si sappiano provenienti da una popolazione normale $N(x;\mu ,\sigma )$ di varianza $\sigma ^{2}$ nota: e che il nostro scopo consista nel discriminare tra due possibili valori $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ per $\mu$; valori che, senza perdere in generalità, supponiamo siano 0 e 1 (potendosi sempre effettuare un opportuno cambiamento di variabile casuale che ci porti in questa situazione). Riassumendo: siano

${\begin{cases}x\sim N(x;\mu ,\sigma )\\H_{0}\equiv \{\mu =0\}\\H_{a}\equiv \{\mu =1\}\\\end{cases}}$

(con $\sigma >0$ noto)