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12.4 - I piccoli campioni e la distribuzione di Student

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campioni provengano da popolazioni aventi la stessa media si traduce nella verifica dell’ipotesi che $\delta$ abbia valore vero nullo.

Tale verifica, essendo $\delta$ distribuita secondo la legge normale, si esegue come abbiamo visto nel paragrafo precedente: si fissa arbitrariamente un valore del livello di confidenza, si determina il corrispondente valore limite degli scarti normalizzati, e lo si confronta con il valore di

${\frac {\delta -E(\delta )}{\sigma _{\delta }}}\;=\;{\frac {{\bar {x}}-{\bar {y}}}{\sqrt {{\dfrac {{\sigma _{x}}^{2}}{N}}+{\dfrac {{\sigma _{y}}^{2}}{M}}}}}$.

Ovviamente vale anche qui l’osservazione fatta nel paragrafo precedente: non conoscendo le deviazioni standard delle popolazioni, $\sigma _{x}$ e $\sigma _{y}$, siamo costretti ad usare in loro vece le stime ottenute dai campioni, $s_{x}$ ed $s_{y}$; e questo si ammette generalmente lecito quando la dimensione di entrambi i campioni è almeno pari a 30.

In caso contrario, presupponendo cioè di avere a disposizione piccoli campioni per almeno una delle due variabili, limitiamo la nostra analisi al caso in cui si sappia con sicurezza che le due popolazioni $x$ ed $y$ abbiano la stessa varianza,

${\sigma _{x}}^{2}\;=\;{\sigma _{y}}^{2}\;\equiv \;\sigma ^{2}$

e definiamo la grandezza $S^{2}$ (varianza globale dei campioni) come

$S^{2}$	$={\frac {1}{N+M-2}}\cdot \left\{\sum _{i=1}^{N}\left[x_{i}-{\bar {x}}\right]^{2}+\sum _{j=1}^{M}\left[y_{j}-{\bar {y}}\right]^{2}\right\}$
	$={\frac {(N-1)\,{s_{x}}^{2}+(M-1)\,{s_{y}}^{2}}{N+M-2}}$.

Sapendo, dall’equazione (12.8), che le due variabili

$(N-1){\frac {{s_{x}}^{2}}{\sigma ^{2}}}$

e

$(M-1)\,{\frac {{s_{y}}^{2}}{\sigma ^{2}}}$

sono entrambe distribuite come il $\chi ^{2}$, con $N-1$ ed $M-1$ gradi di libertà rispettivamente, sfruttando la regola di somma enunciata a pagina 199 si ricava che la variabile casuale

$X\;=\;{\frac {(N-1)\,{s_{x}}^{2}+(M-1)\,{s_{y}}^{2}}{\sigma ^{2}}}\;=\;(N+M-2)\,{\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}$

è distribuita come il $\chi ^{2}$ ad $N+M-2$ gradi di libertà; essendo inoltre $\delta ={\bar {x}}-{\bar {y}}$ una variabile normale con media e varianza date da

$E(\delta )=E(x)-E(y)$

e

${\sigma _{\delta }}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{N}}+{\frac {\sigma ^{2}}{M}}$