Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/89

6.4 - Funzione generatrice e funzione caratteristica

73

(per una variabile continua, e

$\phi _{x}(t)=\sum \nolimits _{k}p_{k}e^{itx_{k}}$

(6.7)

per una variabile discreta); e, se esistono i momenti di qualsiasi ordine rispetto all’origine, risulta anche

$\phi _{x}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(it)^{k}}{k!}}\lambda _{k}$

(6.8)

dalla quale si ricava

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}\phi _{x}(t)}{\mathrm {d} t^{k}}}\right|_{t=0}=i^{k}\lambda _{k}$.

(6.9)

Queste funzioni sono importanti in virtù di una serie di teoremi, che citeremo qui senza dimostrarli:

• I momenti (se esistono fino a qualunque ordine) caratterizzano univocamente una variabile casuale; se due variabili casuali hanno gli stessi momenti fino a qualsiasi ordine, la loro densità di probabilità è identica.
• La funzione generatrice esiste solo se esistono i momenti fino a qualsiasi ordine; e anch’essa caratterizza univocamente una variabile casuale, nel senso che se due variabili hanno la stessa funzione generatrice la loro densità di probabilità è identica.
• La $\phi _{x}(t)$ prima definita si chiama anche trasformata di Fourier della funzione $f(x)$; anch’essa caratterizza univocamente una variabile casuale nel senso su detto. Le proprietà che contraddistinguono una funzione che rappresenti una densità di probabilità implicano poi che la funzione caratteristica, a differenza della funzione generatrice dei momenti, esista sempre per qualsiasi variabile casuale; la (6.9) è però valida solo se i momenti esistono fino a qualsiasi ordine. Inoltre, se è nota la $\phi _{x}(t)$, la si può sempre invertire (riottenendo da essa la f) attraverso la

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ixt}\phi _{x}(t)\,\mathrm {d} t$

(6.10)

(trasformata inversa di Fourier).