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74 | Capitolo 6 - Variabili casuali unidimensionali continue |
Vogliamo infine ricavare una relazione che ci sarà utile più avanti: siano le N variabili casuali continue (che supponiamo tutte statisticamente indipendenti tra loro), ognuna delle quali sia associata ad una particolare funzione caratteristica ; il problema che vogliamo affrontare consiste nel determinare la funzione caratteristica della nuova variabile casuale S, definita come loro somma:
.
Il valore di ogni sarà univocamente definito dai possibili risultati di un qualche evento casuale ; per cui la S si può pensare univocamente definita dalle possibili associazioni di tutti i risultati di questi N eventi — associazioni che, in sostanza, corrispondono alle possibili posizioni di un punto in uno spazio cartesiano N-dimensionale, in cui ognuna delle variabili sia rappresentata su uno degli assi.
Visto che i valori sono (per ipotesi) tra loro tutti statisticamente indipendenti, la probabilità di ottenere una particolare N-pla è data dal prodotto delle probabilità relative ad ogni singolo valore: e, se indichiamo con la funzione densità di probabilità della generica , la probabilità di ottenere un determinato valore per la S è data da
(dS rappresenta un intorno (ipercubico) infinitesimo del punto S, di coordinate cartesiane nello spazio N-dimensionale prima descritto, corrispondente agli N intorni unidimensionali dei valori assunti dalle N variabili casuali ); e la densità di probabilità per la S vale quindi
.
La funzione caratteristica di S è, dall’equazione di definizione (6.6),
ed infine
(6.11) |