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11.4 - Interpolazione dei dati con una curva

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dovranno essere verificate le

$\left\{{\begin{array}{ccccl}a\cdot N&+&b\cdot \sum _{i}x_{i}&=&\sum _{i}y_{i}\\a\cdot \sum _{i}x_{i}&+&b\cdot \sum _{i}{x_{i}}^{2}&=&\sum _{i}x_{i}y_{i}\end{array}}\right.$

(11.9)

e questo sistema di due equazioni in due incognite ammette, come si può verificare, sempre una ed una sola soluzione, purché vi siano almeno due punti sperimentali non coincidenti; esaminando poi le derivate seconde si troverebbe che essa corrisponde in effetti ad un minimo. La soluzione è

$\left\{{\begin{array}{ccl}a&=&{\dfrac {1}{\Delta }}{\Bigl [}\left(\sum _{i}{x_{i}}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i}y_{i}\right)-\left(\sum _{i}x_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}x_{i}y_{i}\right){\Bigr ]}\\b&=&{\dfrac {1}{\Delta }}{\Bigl [}N\cdot \left(\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)-\left(\sum _{i}x_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}y_{i}\right){\Bigr ]}\end{array}}\right.$

(11.10)

in cui si è posto per brevità

$\Delta =N\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}-\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right)^{2}$

(le formule (11.10) sono note sotto il nome di formule dei minimi quadrati).

Per quanto attiene al calcolo degli errori commessi nella valutazione di $a$ e $b$ in base ai dati, osserviamo che entrambi si ricavano da relazioni lineari in ognuna delle variabili affette da errore che, nelle nostre ipotesi, sono le sole $y_{i}$: possiamo dunque adoperare la formula della propagazione degli errori (10.2), che è in questo caso esatta; oppure la più semplice (5.5). Possiamo esprimere $a$ e $b$ in funzione delle $y_{i}$ come

$a=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\,y_{i}$

e

$b=\sum _{i=1}^{N}b_{i}\,y_{i}$

una volta posto

$\left\{{\begin{array}{rcl}a_{i}&=&{\frac {1}{\Delta }}\,\left(\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}-x_{i}\,\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)\\b_{i}&=&{\frac {1}{\Delta }}\left(N\,x_{i}-\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)\end{array}}\right.$

e, se indichiamo con ${\sigma _{y}}^{2}$ la varianza comune a tutte le $y_{i}$, si ottiene, per l’errore di $a$: