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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

8.5.5 La distribuzione composta di Poisson

La distribuzione composta di Poisson è quella seguita da una variabile che sia somma di un numero casuale N di valori di un’altra variabile casuale x, quando sia N che x seguono singolarmente delle distribuzioni di Poisson. Indichiamo con $\nu$ e $\xi$ i valori medi delle popolazioni delle variabili N e x rispettivamente; le funzioni caratteristiche (di variabile complessa) ad esse associate sono date, come sappiamo, dalla (8.17):

$\phi _{N}(z)=e^{\nu (z-1)}$

e

$\phi _{x}(z)=e^{\xi (z-1)}$;

ricordando la (6.14), la variabile casuale

$S=\sum _{i=1}^{N}x_{i}$

ha funzione caratteristica di variabile complessa

$\phi _{S}(z)=\phi _{N}{\bigl [}\phi _{x}(z){\bigr ]}\;=\;e^{\nu \left[e^{\xi (z-1)}-1\right]}$

e funzione caratteristica di variabile reale

$\phi _{S}(t)=e^{\nu \left[e^{\xi (e^{it}-1)}-1\right]}$;

da quest’ultima poi si ricava

${\frac {\mathrm {d} \,\phi _{S}(t)}{\mathrm {d} t}}=\phi _{S}(t)\cdot \nu \,e^{\xi (e^{it}-1)}\cdot \xi \,e^{it}\cdot i$

ed infine

$\left.{\frac {\mathrm {d} \,\phi _{S}(t)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=i\nu \xi$.

La speranza matematica di una variabile che segua la distribuzione composta di Poisson vale quindi

$E(S)=\nu \xi$,

e, similmente, si potrebbero ottenere

${\text{Var}}(S)=\nu \xi (1+\xi )$