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8.5 - La distribuzione di Poisson

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La funzione generatrice dei momenti, come si potrebbe facilmente ottenere dalla definizione, è la

$M_{x}(t)=e^{-\alpha }e^{\alpha e^{t}}=e^{\alpha \left(e^{t}-1\right)}$;

(8.16)

la funzione caratteristica di variabile reale

$\phi _{x}(t)=e^{\alpha \left(e^{it}-1\right)}$,

e la funzione caratteristica di variabile complessa

$\phi _{x}(z)=e^{\alpha (z-1)}$.

(8.17)

Da esse potrebbero essere ricavati tutti i momenti successivi; i primi quattro valgono

${\begin{cases}\lambda _{1}\;\equiv \;E(x)\;=\;\alpha \\[1ex]\lambda _{2}\;\equiv \;E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\;=\;\alpha \,(\alpha +1)\\[1ex]\lambda _{3}\;=\;\alpha \,{\bigl [}(\alpha +1)^{2}+\alpha {\bigr ]}\\[1ex]\lambda _{4}\;=\;\alpha \,{\bigl [}\alpha ^{3}+6\alpha ^{2}+7\alpha +1{\bigr ]}\end{cases}}$

${\begin{cases}\mu _{1}\;\equiv \;0\\[1ex]\mu _{2}\;\equiv \;{\text{Var}}(x)\;=\;\alpha \\[1ex]\mu _{3}\;=\;\alpha \\[1ex]\mu _{4}\;=\;\alpha \,(3\alpha +1)\end{cases}}$

Un’altra conseguenza della (8.16) è che la somma $w=x+y$ di due variabili casuali indipendenti che seguano la distribuzione di Poisson (con valori medi $\xi$ ed $\eta$) segue anch’essa tale distribuzione (con valore medio pari a $\xi +\eta$):

$M_{w}(t)=e^{\xi \left(e^{t}-1\right)}\,e^{\eta \left(e^{t}-1\right)}=e^{(\xi +\eta )\left(e^{t}-1\right)}$.

(8.18)

Anche la distribuzione di Poisson, come si vede dai grafici di figura 8f, è bene approssimata da una distribuzione normale quando $\alpha$ è abbastanza elevato; questo non deve stupire, visto lo stretto legame che esiste tra la distribuzione di Poisson e quella di Bernoulli — il cui limite per grandi N è appunto la funzione di Gauss. Volendo, si potrebbe ripetere per la funzione generatrice (8.16) una analisi analoga a quella a suo tempo compiuta per la distribuzione binomiale; in questo modo si proverebbe rigorosamente il fatto che anche la distribuzione di Poisson, per grandi $\alpha$, tende a quella normale.

In genere si ritiene che, per valori medi $\alpha \gtrsim 8$, si possa ritenere soddisfacente l’approssimazione normale alla distribuzione di Poisson.