Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/87

6.4 - Funzione generatrice e funzione caratteristica

71

In pratica però si preferisce usare, in luogo di $\mu _{3}$, un parametro adimensionale; definendo il cosiddetto coefficiente di asimmetria (o skewness, in inglese) come

$\gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{({\sqrt {\mu _{2}}})^{3}}}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}$

(dove $\sigma ={\sqrt {\mu _{2}}}$ è la radice quadrata della varianza); $\gamma _{1}$ è nullo per densità di probabilità simmetriche rispetto alla media, oppure ha segno positivo (o negativo) a seconda che i valori della funzione di frequenza per la variabile casuale in questione si trovino “sbilanciati” verso la destra (o verso la sinistra) rispetto al valore medio.

Dal momento del quarto ordine rispetto alla media si può ricavare un altro parametro adimensionale talvolta usato per caratterizzare una distribuzione: il coefficiente di curtòsi $\gamma '_{2}$, definito come

$\gamma '_{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}$

(6.3)

e che è ovviamente sempre positivo. Esso misura in un certo senso la “rapidità” con cui una distribuzione di probabilità converge a zero quando ci si allontana dalla zona centrale in cui essa assume i valori più alti (individuata dal valore di $E(x)\equiv \lambda _{1}$): o, se si preferisce, l’importanza delle sue “code” laterali; infatti, quanto più rapidamente la funzione converge a zero in queste code, tanto più piccolo sarà il valore di $\gamma '_{2}$. Come si potrebbe ricavare integrandone la funzione di frequenza (che troveremo più avanti nel paragrafo 8.2), il coefficiente di curtosi della distribuzione normale calcolato usando la (6.3) vale 3; per questo motivo si preferisce generalmente definirlo in modo differente, usando la

$\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3$.

Questo fa sì che esso valga zero per la funzione di Gauss, e che assuma poi valori di segno negativo o positivo per funzioni che convergano a zero nelle code in maniera rispettivamente più “rapida” o più “lenta” della distribuzione normale.

6.4 Funzione generatrice e funzione caratteristica

La speranza matematica della funzione $e^{tx}$ per una variabile casuale continua x prende il nome di funzione generatrice dei momenti della variabile stessa; la indicheremo nel seguito col simbolo $M_{x}(t)$. Il motivo del nome è