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Quando le curve della data rete sono le prime polari de’ loro punti corrispondenti rispetto ad una curva fondamentale, in questa coincidono insieme le due curve $H$ e $K$ .

17. Ma anche nel caso più generale sussistono quasi tutte le proprietà dimostrate nell'Introduzione per un sistema di prime polari: anzi rimangono invariate le stesse dimostrazioni; e ciò perchè quelle proprietà e quelle dimostrazioni in massima parte dipendono non già dalla connessione polare delle curve della rete con una curva fondamentale, ma piuttosto dalla determinabilità lineare delle medesime per mezzo di tre sole fra esse. Così si hanno i seguenti enunciati, che sussistono per una rete qualsivoglia e si dimostrano col soccorso della definizione delle reti e dei teoremi superiori (15, 16).

Se un punto percorre una curva $C_{m}$ d’ordine $m$ , la corrispondente retta $R$ inviluppa una curva $L$ della classe $mn$ , che è anche il luogo di un punto al quale corrisponda una curva $A$ tangente a $C_{m}$ . Se $C_{m}$ non ha punti multipli, l’ordine di $L$ è $m(m+2n-3)$ ; ma questo numero è diminuito di $r(r-1)+s-1$ se $C_{m}$ ha un punto $(r)$ ^plo con $s$ tangenti coincidenti.

Da questo teorema segue che il numero delle curve $A$ che toccano due curve $C_{m},C_{m'}$ , è eguale al numero delle intersezioni delle due corrispondenti curve $L$ , gli ordini delle quali sono conosciuti.

Alle cuspidi di $C_{m}$ corrispondono le tangenti stazionarie di $L$ , e siccome si conoscono così di questa curva la classe, l’ordine ed il numero de’ flessi, si potranno determinare, per mezzo delle formole di Plücker, i numeri de’ punti doppi, delle tangenti doppie e delle cuspidi della medesima curva $L$ . Questi numeri poi esprimono quante curve $A$ hanno un doppio contatto con $C_{m}$ , quante un contatto tripunto colla stessa $C_{m}$ , ecc. (Introd. 103).

18. Il luogo di un punto $p$ le cui rette polari relative alle curve $A$ della rete passino per uno stesso punto $o$ è una curva dell’ordine $3(n-1)$ , che si può chiamare la Hessiana o la Jacobiana della rete [45], e che può essere definita anche come il luogo dei punti di contatto fra le curve della rete, o il luogo dei punti doppi delle curve medesime (Introd. 90 a, 92, 95).

Il luogo di un punto $o$ nel quale si seghino le rette polari di uno stesso punto $p$ , rispetto alle curve della rete, è una curva d’ordine $3(n-1)^{2}$ , che si può chiamare la curva Steineriana della rete (Introd. 98, a).

Quindi ad ogni punto $p$ della Jacobiana corrisponde un punto $o$ della Steineriana, e reciprocamente: e l’inviluppo della retta $po$ , la quale tocca in $p$ tutte le curve della rete che passano per questo punto, è una curva della classe $3n(n-1)$ (Introd. 98, b).

Il luogo di un punto $a$ al quale corrisponda una curva $A$ dotata di un punto doppio $p$ è una curva $\Sigma$ dell’ordine $3(n-1)^{2}$ .