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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 393


Dunque il punto , ove si toccano le curve del dato fascio, conta per due fra i punti doppi del fascio medesimo.

(b) Suppongasi ora che nel dato fascio si trovi una curva dotata di una cuspide . Sia un punto preso nella tangente cuspidale, ed un altro punto qualsivoglia. Le prime polari di rispetto alle curve date formano un fascio, nel quale v’ha una curva (la polare relativa a ) avente una cuspide in colla tangente (72). Alla quale curva corrispondono, nel fascio delle polari di , una curva passante due volte per (78, a), e nel fascio delle polari di , una curva passante per ed ivi toccante (74, c). Perciò il primo ed il secondo fascio generano una curva d’ordine , per la quale è un punto doppio (51, f); mentre il primo ed il terzo fascio danno nascimento ad una curva di quello stesso ordine, passante semplicemente per ed ivi toccante la retta (51, g). Queste due curve hanno adunque due punti comuni riuniti in ; talchè, astraendo dagli punti-base del primo fascio, le rimanenti intersezioni saranno .

Ossia: se in un fascio v’ha una curva dotata di una cuspide, questa conta per due fra i punti doppi del fascio.

(c) Da ultimo supponiamo che tutte le curve del fascio proposto passino per , cuspide di . Sia ancora un punto della tangente cuspidale di , e si prenda nella retta che tocca in tutte le altre curve del fascio. Le polari di passano per questo punto, toccando ivi ed una fra esse, quella relativa a , ha una cuspide in colla tangente (71, 72). Le polari di passano anch’esse per (70); ma una sola, quella che si riferisce a , tocca ivi (74, c). E fra le polari di , soltanto quella che è relativa a passa per , ed invero vi passa due volte (78, a). Donde segue che le polari di ed generano una curva d’ordine , per la quale è un punto doppio colle tangenti (52, a); e le polari di ed generano un’altra curva dello stesso ordine, cuspidata in colla tangente (51, c). Pertanto le due curve così ottenute hanno in un punto doppio ed una tangente () comune, ossia hanno in cinque intersezioni riunite (32). Messi da parte il punto , nel quale tutte le polari del primo fascio si toccano, e gli altri punti-base del fascio medesimo, il numero delle rimanenti intersezioni delle due curve d’ordine sarà .

Dunque il punto comune a tutte le curve del fascio proposto, una delle quali è ivi cuspidata, conta per tre fra i punti doppi del fascio medesimo. —74

(d) Applicando il teorema generale (dimostrato al principio del presente n.°) al fascio delle prime polari de’ punti di una data retta (77), rispetto ad una curva d’ordine , si ha:

In una retta qualunque vi sono punti, ciascun de’ quali ha per prima polare, rispetto ad una data linea dell’ordine , una curva dotata di un punto doppio.