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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 391


Dato un fascio d’ordine , le prime polari d’uno stesso punto rispetto alle curve del fascio formano un nuovo fascio. Se il polo percorre una retta fissa, i punti-base del secondo fascio generano una linea dell’ordine , che è anche il luogo dei poli della retta data rispetto alle curve del fascio proposto.

87. Quale è il luogo di un punto che abbia la stessa retta polare rispetto ad una data curva d’ordine e ad alcuna delle curve d’una data serie d’indice ? Per risolvere il problema, cerchiamo quanti punti del luogo richiesto siano contenuti in una trasversale assunta ad arbitrio. Sia un punto qualunque della trasversale; la retta polare di rispetto a . Il luogo dei poli della retta rispetto alle curve è (86) una linea dell’ordine , che segherà la trasversale in punti . Reciprocamente: assunto ad arbitrio un punto nella trasversale, le rette polari di rispetto alle curve formano (84, b) una curva della classe , la quale ha tangenti comuni colla curva di classe inviluppo delle rette polari de’ punti della trasversale relative a (81, a). Queste tangenti comuni sono polari, rispetto a , d’altrettanti punti della trasversale. Così ad ogni punto corrispondono punti ed a ciascun punto corrispondono punti ; dunque (83) vi saranno punti , ciascuno de’ quali coinciderà con uno de’ corrispondenti . Per conseguenza:

Il luogo di un punto avente la stessa retta polare, rispetto ad una data curva d’ordine e ad alcuna delle curve d’una serie d’indice e d’ordine , è una linea dell’ordine .

(a) Se la data curva ha un punto doppio (ordinario o stazionario), la retta polare di questo punto rispetto a è indeterminata (72), onde può assumersi come tale la tangente a ciascuna delle curve passanti per . Dunque la curva d’ordine , che indicheremo con , passa volte per ciascuno de’ punti doppi ordinari o stazionari della curva .72

(b) Sia un punto stazionario di e si applichi alla tangente cuspidale il ragionamento dianzi fatto per un’arbitraria trasversale. Se si riflette che, nel caso attuale, l’inviluppo delle rette polari de’ punti di , rispetto a è della classe (81, c), talchè ad ogni punto corrisponderanno punti , si vedrà che la retta , prescindendo dal punto , incontra la curva in punti, ossia il punto equivale a intersezioni di e . Per conseguenza (32)73 in sono riuniti punti comuni alle linee e .

(c) Di qui s’inferisce che, se la data curva ha punti doppi e cuspidi, essa sarà incontrata dalla linea in altri punti. Ma questi, in virtù della definizione della linea , sono i punti ove è toccata da curve della data serie; dunque: