Pagina:Beltrami - Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante - 1868.pdf/27

23

dove

$x^{2}=a^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$,

appartiene ad uno spazio di $n$ dimensioni la cui curvatura è dovunque costante ed $={\frac {1}{R^{2}}}$. Esso si ottiene da (1) mutando $R$, $a$ ed $x$ in $R{\sqrt {-1}}$, $a{\sqrt {-1}}$, $x{\sqrt {-1}}$, e tutte le proprietà e le equazioni fondate sopra mere trasformazioni analitiche dell’elemento (1) valgono evidentemente, coi cambiamenti indicati, anche per quest’altro. Per es. la (8) si muta nella seguente

$\cos {\frac {\rho }{R}}={\frac {a^{2}+x_{1}x_{1}^{0}+x_{2}x_{2}^{0}+\cdots +x_{n}x_{n}^{0}}{\sqrt {(a^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(a^{2}+x_{1}^{0^{2}}+\cdots +x_{n}^{0^{2}})}}}$,

(27)

formola che dà per $\rho$ un valore reale, qualunque siano i valori reali di $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots x_{n}$; $x_{1}^{0}$, $x_{2}^{0}$, $\ldots x_{n}^{0}$. È chiaro che per questi spazii sussiste integralmente il teorema della sovrapponibilità di due loro porzioni qualunque.

Se nella (26) si suppongono reali le variabili $x$, $x_{1}$, $\ldots x_{n}$ e le costanti $R$, $a$, i valori ammissibili per le coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots x_{n}$, non hanno limite alcuno, e possono variare fra $-\infty$ e $+\infty$. Per tutti i valori reali di queste coordinate lo spazio è continuo e semplicemente connesso, ma non infinito (Riemann, III, § 2), perchè se si fa nella (27)

$x_{1}^{0}=\lambda _{1}\tau$,

$x_{2}^{0}=\lambda _{2}\tau ,\ldots$

$x_{n}^{0}=\lambda \tau$,

dove $\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}^{2}=1$, si ha per $\tau =\infty$

$\cos {\frac {\rho }{R}}={\frac {\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n}}{\sqrt {a^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}$,

formola che dà per $\rho$ un valore finito e determinato. Le linee geodetiche continuano ad essere rappresentate da equazioni lineari, ma, stante l’ammissibilità dei valori infiniti per le coordinate, il principio che due punti individuano senza ambiguità una geodetica cessa d’esser vero senza restrizione. Infatti siano

$x_{1}=b_{1}x_{n}+b'_{1}$,

$x_{2}=b_{2}x_{n}+b'_{2},\ldots$

ecc.

le equazioni d’una geodetica. Finchè uno almeno dei punti pei quali essa deve passare ha le sue coordinate finite, i coefficienti possono esser tutti determinati senza ambiguità. Ma se ambedue i punti hanno coordinate infi-