Pagina:Beltrami - Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante - 1868.pdf/5

In una Memoria inserita nel t. VII della prima serie di questi Annali (Roma 1866) ho cercato le superficie dotate della proprietà di avere le loro linee geodetiche rappresentate da equazioni lineari, ed ho trovato che questa proprietà si verifica per le sole superficie di curvatura costante e per certe variabili speciali che l’analisi del problema ha spontaneamente introdotte.

Nel presente scritto espongo i risultati molto più generali a cui mi ha condotto l’ulteriore evoluzione di quel concetto, coordinato ad alcuni principii tracciati da Riemann nell’insigne suo lavoro postumo: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, non ha guari pubblicato dal sig. Dedekind nel XIII volume delle Memorie di Gottinga. Spero che le mie ricerche possano ajutare l’intelligenza di alcune parti di questo profondo lavoro.

Certe locuzioni di cui per amore di brevità faccio uso frequente non parranno, io credo, nè stentate nè oscure a chi guardi più alla sostanza che alla forma. L’attento lettore non avrà da fare alcuno sforzo per intenderle senz’altra spiegazione, restandogli del resto piena facoltà di non attribuir loro che un significato meramente analitico.

L’espressione differenziale

$ds=R{\frac {\sqrt {dx^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}}{x}}$,

(1)

dove $x$, $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$, sono $n+1$ variabili legate dall’equazione

$x^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=a^{2}$,

Beltrami.

1