Pagina:Beltrami - Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, 1868.djvu/23

)( 19 )(

ossia è racchiusa fra due circonferenze geodetiche equidistanti dalla geodetica $\xi =0$, la quale si dispone secondo il parallelo minimo. La larghezza di questa zona dipende dal raggio che si vuole assegnare al parallelo minimo, ed è tanto maggiore quanto questo è minore. La lunghezza della zona stessa è indefinita, epperò essa si ravvolge infinite volto sulla superficie di rotazione, nel che è da osservare che i punti i quali si sovrappongono in tal modo l’uno all’altro devono sempre concepirsi come distinti, senza di che cesserebbe d’esser vero il teorema che per due punti della superficie passi una sola geodetica: in altre parole, si deve concepire la superficie di rotazione come il limite di un elicoide il cui passo converge verso zero. I due paralleli estremi hanno il raggio $={\sqrt {R^{2}+r_{0}^{2}}}$, e i loro piani sono tangenti circolarmente alla superficie.

Fra le circonferenze geodetiche a centro reale e quelle a centro ideale si trovano, come ente intermedio, le circonferenze geodetiche che hanno il centro a distanza infinita, le quali meritano di essere considerate a cagione delle loro notabilissime proprietà.

L’equazione generale di questo circonferenze conserva la forma (13), poichè il processo che ci ha condotto a questa vale per ogni posizione dol centro; ma se tale equazione si confronta colla (11), in cui la quantità ${\sqrt {a_{0}^{2}-u_{0}^{2}-v_{0}^{2}}}$ ossia $\omega _{0}$ converge verso zero quando il centro passa all’infinito, mentre nella stessa ipotesi il secondo membro cresce indefinitamente, si vede che il prodotto $\omega _{0}\cosh {\frac {\rho }{\text{R}}}$ converge verso un valore finito, al quale converge del pari, evidentemente, il prodotto ${\frac {1}{2}}\omega _{0}e^{\frac {\rho }{\text{R}}}$. Ora se in luogo di $\rho$ si pone $\rho '-\rho$, la (11) può scriversi

${\frac {a^{2}-uu_{0}-vv_{0}}{\sqrt {a^{2}-u^{2}-v^{2}}}}={\frac {\omega _{0}}{2}}e^{\frac {\rho }{\text{R}}}e^{-{\frac {\rho }{\text{R}}}}+{\frac {\omega _{0}}{2}}e^{-{\frac {\rho }{\text{R}}}}e^{\frac {\rho }{\text{R}}}$

quindi, mantenendo $\rho$ finito e facendo crescere indefinitamente $\rho '$ mentre $\omega _{0}$ converge verso zero, si ha, al limite,

${\frac {a^{2}-uu_{0}-vv_{0}}{\sqrt {a^{2}-u^{2}-v^{2}}}}=ke^{-{\frac {\rho }{\text{R}}}}$,

dove $k$ è una costante. Rappresentando in questo modo il sistema delle circonferenze geodetiche col centro all’infinito nel punto $(u_{0},v_{0})$, il parametro $\rho$ esprime l’intervallo costante fra una qualunque di queste circonferenze ed una determinata fra esse, e cresce positivamente da questa verso il centro all’infinito. Ponendo $k=a$ la circonferenza $\rho =0$ diventa quella che passa per il punto $(u=v=0)$.

Se coll’equazione cosi ottenuta

(15)	${\frac {a^{2}-uu_{0}-vv_{0}}{\sqrt {a^{2}-u^{2}-v^{2}}}}=ac^{-{\frac {\rho }{\text{R}}}}$