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epperò quella del sistema ortogonale è

$\left\{{\text{E}}(u-u_{0})+{\text{F}}(v-v_{0})\right\}du+\left\{{\text{F}}(u-u_{0})+{\text{G}}(v-v_{0})\right\}dv=0$,

cioè, pei valori attuali di E, F, G,

$d{\frac {a^{2}-uu_{0}-vv_{0}}{\sqrt {a^{2}-u^{2}-v^{2}}}}=0$.

Quindi

(13)	${\frac {a^{2}-uu_{0}-vv_{0}}{\sqrt {a^{2}-u^{2}-v^{2}}}}={\text{C}}$

è l’equazione finita delle circonferenze geodetiche concepite nel senso più generale, cioè qualunque ne sia il centro $(u_{0},v_{0})$, reale od ideale.

Quando questo centro è reale, la sua distanza dalla curva è costante, in virtù di un teorema notissimo; ed infatti, denominando $\rho$ questa distanza, si ha, dal confronto coll’equazione (11)

$\cosh {\frac {\rho }{\text{R}}}={\frac {\text{C}}{\sqrt {a_{0}^{2}-u_{0}^{2}-v_{0}^{2}}}}$.

In questo caso è chiaro che fra i valori ammissibili per la costante C non è compreso il valor zero, poiché il luogo corrispondente a questa ipotesi, essendo rappresentato nel piano ausiliare da una retta esterna al cerchio limite, cade tutto nelle regioni ideali della superficie.

Quando invece il centro è ideale, la nozione del raggio geodetico manca, ma la costante C può ricevere il valor zero, perchè l’equazione risultante

$a^{2}-uu_{0}-vv_{0}=0$

rappresenta, sul piano ausiliare, una corda del cerchio-limite e precisamente la polare del punto esterno $(u_{0},v_{0})$. Quest’equazione definisce una geodetica reale della superficie: possiamo dunque concludere che fiale infinite circonferenze geodetiche aventi lo stesso centro ideale esiste sempre una (ed una sola) geodetica reale, talchè le circonferenze geodetiche a centro ideale si possono anche definire come curve parallele (geodeticamente) allo geodetiche reali. Quest’ultima proprietà venne notata già dal Sig. Battaglini, con diverso linguaggio (l. c., p. 228). Si vede dunque che mentre sulla superficie sferica i due concetti di — circonferenza geodetica — e di — curva parallela ad una linea geodetica — coincidono perfettamente fra loro, sulla superficie pseudosferica invece presentano una difrenza, procedente dalla realità od idealità del centro.

Poichè ogni circonferenza geodetica a centro ideale è equidistante in tutti i

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