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tro nel punto qualunque $(u_{0},v_{0})$ e col raggio geodetico $\rho$ è rappresentata dell'equazione

(11)	${\frac {a^{2}-uu_{0}-vv_{0}}{\sqrt {(a^{2}-u^{2}-r^{2})(a^{2}-u_{0}^{2}-r_{0}^{2})}}}=\cosh {\frac {\rho }{\text{R}}}$.

Quest'equazione generale ci diventa utile in seguito, ma ora possiamo approfittare delle semplificazioni che risultano dal supporre collocata l’origine $(u=v=0)$ nel centro della circonferenza considerata. Dando all'espressione dell'elemento lineare (come nella Nota II) la forma

$ds^{2}={\text{R}}^{2}{\frac {w^{2}(du^{2}+dv^{2})+(udu+vdv)^{2}}{w^{4}}}$,

e ponendo

$u=r\cos \varphi$,

$v=r\operatorname {sen} \varphi$

se ne deduce tosto l'espressione equivalente

$ds^{2}={\text{R}}^{2}\left\{\left({\frac {adr}{a^{2}-r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {r^{2}d\varphi ^{2}}{a^{2}-r^{2}}}\right\}$.

Ma chiamando $\rho$ la distanza geodetica del punto $(u,v)$, ossia $(r,\varphi )$ dall'origine, si ha, come sappiamo,

${\frac {adr}{a^{2}-r^{2}}}={\frac {d\rho }{\text{R}}}$,

${\frac {r^{2}}{a^{2}-r^{2}}}={\text{senh}}^{2}\,{\frac {\rho }{\text{R}}}$,

dunque

(12)	$ds^{2}=d\rho ^{2}+\left({\text{Rsenh}}\,{\frac {\rho }{\text{R}}}\right)^{2}d\varphi ^{2}$,

espressione già conosciuta dell’elemento lineare della superficie pseudosferica.

Quest'espressione rientra nella forma canonica dell'elemento lineare di una superficie di rotazione. Ma bisogna osservare che nel caso attuale non si potrebbe applicare effettivamente sopra una superficie di rotazione la calotta pseudosferica circostante al punto $(u=v=0)$, senza alterarne la continuità per mezzo di un qualche taglio operato in essa partendo dal punto stesso. Infatti la supposta superficie di rotazione, se esistesse senza tale condizione, incontrerebbe il proprio asse nel centro comune $(\rho =0)$ di tutte le circonferenze geodetiche $\rho ={\text{cost}}$. ed avrebbe quindi in questo punto le sue due curvature di egual senso, il che non può essere, perchè una superficie pseudosferica ha tutti i suoi punti iperbolici. La stessa impossibilità risulta dal considerare che, quando non si volesse eseguire il taglio anzidetto, la variabile $\varphi$ rappresenterebbe la longitudine del meridiano variabile, epperò il raggio del parallelo corrispondente all'arco meridiano sarebbe ${\text{Rsenh}}\,{\frac {\rho }{\text{R}}}$.

La variazione di questo raggio sarebbe quindi $={\text{cosh}}\,{\frac {\rho }{\text{R}}}\cdot d\rho$ cioè $>d\rho$, il che è