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liberata che sia dai denominatori, si abbassa spontaneamente al 2° grado, per la mutua elisione di tutti i termini che contengono potenze di superiori alla seconda. Si giungerebbe, per un cammino inverso, alle stesse equazioni (4) eguagliando a zero i coefficienti di nella precedente equazione, liberata dai denominatori.
Osserviamo ancora che rappresentando, come dianzi, con una funzione intera di , di grado , a coefficienti arbitrarii, e moltiplicando ordinatamente le equazioni (4) del § precedente per
,
si ottiene
,
ossia, in forza del Lemma (II),
,
vale a dire, scrivendo per disteso,
(5) | . |
Quest’unica equazione equivale, per l’arbitrio degli coefficienti della funzione al sistema delle equazioni (4) del § precedente, dalle quali essa venne ricavata. Viceversa si possono da quest’unica equazione ricavare tutte le equazioni citate. Per ottenere la prima, ad esempio, non si ha che da porre
.
Se, in particolare, si pone eguale al prodotto di dei binomii
, | , |