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epperò le formole (1) diventano

$u_{k}={\frac {M(\lambda '-a_{k})^{n-2}(\lambda _{1}-a_{k})(\lambda _{2}-a_{k})}{A_{k}f'(a_{k})}}$,

donde, pel Lemma (III), si traggono le equazioni:

$\sum {\frac {Au}{(\lambda '-a)^{i}}}=0$

per

$i=1,2,\ldots (n-2)$.

Dunque, quando le radici fisse son tutte eguali fra loro ed a $\lambda '$, le altre $n-2$ condizioni (4) del § precedente sono surrogate da queste altre

(3)

$\sum {\frac {Au}{\lambda '-a}}=0,$

$\sum {\frac {Au}{(\lambda '-a)^{2}}}=0,$

$\cdots$

$\sum {\frac {Au}{(\lambda '-a)^{n-2}}}=0.$

Si può, in secondo luogo, particolarizzare ancor più l’ipotesi or fatta, supponendo che il valor comune $\lambda '$ delle $n-2$ radici fisse sia $=\infty$. In questo caso, dovendo l’equazione $\phi \lambda =0$ avere tutte le radici infinite, bisogna che il suo primo membro si riduca ad una costante. Ponendo questa costante $=1$ si ha

$u_{k}={\frac {M(\lambda _{1}-a_{k})(\lambda _{2}-a_{k})}{A_{k}f'(a_{k})}}$,

donde

$\sum A\psi (a)u=0$,

dove $\psi (\lambda )$ è una funzione intera di $\lambda$, del grado $n-3$, a coefficienti arbitrarii. Quest’ultima equazione si scinde nelle $n-2$ equazioni separate

(4)

$\sum Au=0,$

$\sum Aau=0,$

$\sum Aa^{2}u=0,$

$\cdots$

$\sum Aa^{n-2}u=0,$

le quali sono appunto quelle che tengono luogo delle (4) del § precedente nel caso attualmente supposto. Verificandosi il quale l’equazione

$\sum {\frac {Au}{\lambda -a}}=0$,