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è contenuto nella tangente $\lambda '$ e nella tangente contigua. Dunque il lato $\lambda _{1}$ è una tangente comune alle due coniche ed il vertice opposto $\mu _{1}$ è un punto comune ad esse medesime; il lato $\lambda '$ è la tangente della prima conica in uno dei punti comuni ad essa ed alla seconda, ed il vertice $\mu '$ è il punto di contatto della seconda conica con una delle tangenti comuni ad essa ed alla prima.

In base a ciò, ecco com’è costituito ciascuno dei quattro triangoli singolari che corrispondono ai quattro valori $k'$ di k: Il vertice $\mu _{1}$, è uno dei punti comuni alle due coniche, e i due lati $\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda '$ concorrenti in esso coincidono colla tangente alla prima conica in quel punto; questi due lati coincidenti incontrano di nuovo la seconda conica nei due punti $\mu _{3}=\mu _{2}=\mu '$, che coincidono nel punto in cui la seconda conica è toccata dalla tangente $\lambda _{1}$, comune ad essa ed alla prima: questa tangente funge da terzo lato del triangolo, cioè da lato opposto al vertice $\mu _{1}$ punto comune alle due coniche.

Di quì risulta manifestamente questo teorema: Quando due coniche ammettono un triangolo circoscritto alla prima ed inscritto alla seconda, le tangenti della prima conica, nei punti comuni ad essa ed alla seconda, incontrano di nuovo la seconda conica nei punti di contatto di questa colle tangenti comuni ad essa ed alla prima conica. Al qual teorema si può aggiungere quest’altro: Se, date due coniche in un piano, la tangente alla prima, in uno dei quattro punti comuni, incontra di nuovo la seconda conica in uno dei quattro punti di contatto colle tangenti comuni, la proprietà medesima ha luogo per le tangenti negli altri tre punti comuni, e le due coniche ammettono una serie infinita e continua di triangoli simultaneamente circoscritti alla prima ed inscritti alla seconda conica.

Non ci occuperemo del caso che l’equazione (4) ammetta radice tripla, caso che in generale non può verificarsi. Infatti, ponendo nelle formole (6) $x_{1}=x_{2}=x_{3}$ ed eliminando questo valor comune delle radici si trova

${\sqrt[{3}]{A(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{3}]{B(c-a)^{2}}}+{\sqrt[{3}]{C(a-b)^{2}}}=0$,

relazione fra i coefficienti delle due equazioni (1) (2) che non è generalmente soddisfatta. Questa relazione esprime la condizione del contatto fra le due coniche. È una circostanza interessante, sulla quale tuttavia non intendiamo di trattenerci.